Украинский физический журнал. 1980, т. 25, №5, с. 820-825.
В. И. Карась, С. С. Моисеев, А. П. Шуклин
Универсальные неравновесные распределения частиц в КОНЕЧНИХ энергетических интервалах
Введение
В работах [1, 2] показано, что при наличии потока энергии в импульсном пространстве функция распределения электронов имеет вид 
(
– импульс, 
– параметры). Показано также, что для кулоновских систем локальным оказывается распределение с показателем степени 
-5/4. В [2] указано на целесообразность объяснения с помощью неравновесных распределений степенного вида токов эмиссии из металла при облучении мощным лазерным импульсом. Однако в [2] считалось, что неравновесное распределение электронов существует на бесконечном интервале в пространстве импульсов, т. е. источник энергии находится в начале координат, а сток энергии – на бесконечности.
С точки зрения экспериментальной более реальным является случай конечного интервала, заполненного электронами со степенной функцией распределения, а остальной интервал либо не содержит частиц, либо заполнен частицами с термодинамически равновесной функцией распределения. Такой случай и рассматривается в данной работе. Интеграл электрон-электронных столкновений для твердотельной плазмы вычисляется в приближении квадратичного закона дисперсии. Расходимость, обусловленная кулоновским взаимодействием, устраняется путем введения, как в [2], матричного элемента, описывающего экранированное кулоновское взаимодействие. Представление интеграла столкновений в явном виде как функции импульса , показателя степени 
, импульса 
, соответствующего источнику энергии, импульса 
, соответствующего стоку энергии, позволяет найти величину инерционного интервала, т. е. такое взаимное расположение источника и стока энергии, при котором в распределении слабо зависит от и незначительно отличается от -5/4, найденного в [1, 2].
В случае стационарного равновесия фермиевской функции распределения электронов со степенной функцией, сформулировано условие, налагаемое на плотность частиц, при выполнении которого степенное распределение электронов близко к универсальному (-5/4 для бесконечного интервала).
1. Интеграл электрон-электронных столкновений
Как известно (см., например, [3]) интеграл столкновений Больцмана в случае квантовой статистики можно представить в виде
| |
| (1) |
где 
– матричный элемент, описывающий экранированное кулоновское взаимодействие при высоких температурах; 
– импульс; 
; 
– энергия Ферми; 
– плазменная частота, 
и 
– приведенная масса и энергия электрона;
– числа заполнения.
Пусть в инерционном интервале (между источником и стоком) функция распределения электронов степенная, а вне его – термодинамически равновесная (фермиевская), т. е.
, если 
(
),
, если 
(
), (2)
где
– коэффициент пропорциональности, 
– поток энергии, 
– фермиевский импульс, 
– постоянная Больцмана, 
– температура равновесного газа электронов.
Интеграл столкновений вычисляется с целью определения ширины инерционного интервала для степенных распределений 
, поэтому импульс , по которому в (1) не проводится интегрирование, должен находиться в этом интервале, т. е. 
.
В [2] показано, что неравновесная функция распределения может иметь вид 
для металла в той области импульсного ространства, где 
, т. е. источник и сток должны быть расположены так, чтобы 
. При вычислении (1) не будем учитывать тепловое размытие функции распределения Ферми, так как его учет приводит к температурным поправкам, которые в силу условия 
, несущественны. Поэтому в качестве 
можно взять единичные функции (ступеньки)
где единичная функция здесь и далее определяется следующим образом:
Предположим, что во всем инерционном интервале 
, тогда (1) с учетом сделанных замечаний можно представить в виде
+
+
, (3)
причем
, 
,
, 
.
2. Интеграл столкновений в отсутствие равновесного фона электронов
В отсутствие равновесного фона электронов частицами заполнен только
инерционный интервал, т. е. отличен от нуля только второй интеграл в (3). Выражение (3) будем вычислять с точностью до логарифмических по 
членов, как в интеграле столкновений Ландау. Это значит, что нами будет учтено взаимодействие электронов с передачей малого импульса при соударениях. Однако в [2] показано, что для степенных функций распределения в определенном диапазоне изменения импульса, характерном для твердотельной плазмы, существенными оказываются нелогарифмические члены интеграла столкновений Больцмана, связанные с передачей большого импульса при соударении. Вычисление нелогарифмических членов в нашем случае связано с большими трудностями, поэтому условия, приведенные ниже и полученные при учете только малых передаваемых импульсов в (3), можно отнести к более жестким, чем это может быть в действительности.
С учетом сказанного интеграл столкновений можно представить в виде
. (4)
При помощи преобразований, использованных в [2], (4) приводится к виду 
(5)
где 
,
, 
, 
, 
, 
, 
.
Чтобы записать пределы интегрирования в (5), необходимо найти области существования неравенств 
, 
, учитывая, что 
, 
, 
, 
.
Воспользовавшись четностью функции 
по 
и выполнив замену переменной 
, (5) можно привести к виду
(6)
где 
.
Мы не будем учитывать поведение степенной функции распределения вблизи источника и стока энергии, т. е. при 
и 
. Поэтому для вычислений с точностью до членов, логарифмических по 
, достаточно взять первый и третий интегралы в (6). После интегрирования по 
и 
подынтегральное выражение необходимо разложить по степеням 
и, так как основной вклад вносит 
, учесть члены вплоть до пропорциональных 
.
Интегрирование первого и третьего слагаемых в (6) приводит к следующему выражению для интеграла столкновений:
(7)
Целью данного раздела является определение ширины инерционного интервала для степенных распределений, соответствующих постоянному потоку энергии в импульсном пространстве (
для бесконечного интервала), поэтому необходимо вычислить поток энергии по формуле (см. [1])
Для того, чтобы распределение 
было универсальным, необходимо, чтобы поток 
был постоянным во всем инерционном интервале. Из формулы (7) видно, что при изменении импульса от до член 
растет, поэтому сток энергии нужно помещать таким образом, чтобы рост этих членов не влиял на постоянство потока энергии. В выражении для потока энергии мы сохраним лишь наибольшие члены:
. (8)
Тогда условие постоянства потока запишется в виде
. (9)
Здесь и далее будем рассматривать случай, когда источник энергии расположен так, что 
. Тогда при 
(9) перепишется в виде 
. При ширине интервала 
из уравнения 
находим, что 
, т. е. отличие от составляет примерно 10%.
3. Интеграл столкновений при наличии равновесного фона электронов
В этом разделе вычислим первый интеграл в (3), (второй был вычислен в разделе 2). С помощью преобразований, использованных при получении выражений (5) и (6), с последующим интегрированием по формуле
где
,
получаем
.
Окончательное выражение для потока энергии в импульсном пространстве, определяющегося через интеграл столкновений, имеет вид
.
Отсюда следует условие, налагаемое на плотность электронов вблизи источника (плотность, определяющая интенсивность источника), при которой поток постоянный и, следовательно, в инерционном интервале (между источником и стоком) распределение близко к универсальному:
Заключение
В работе рассмотрен случай, когда в интервале между источником и стоком энергии в импульсном пространстве функция распределения электронов металла степенная, а вне этого интервала – фермиевская. Показано, что неравновес - ное распределение электронов близко к универсальному ( в случае бесконечного интервала), если взаимное расположение источника и стока, а также их интенсивности удовлетворяют определенным условиям. Так, показатель степени в распределении ( - числа заполнения) будет отличаться от 
меньше чем на 10 %, если будут соблюдены условия:
|
Существенно то, что неравновесное универсальное распределение электронов возможно даже при числах заполнения значительно (на один - два порядка) меньших равновесных.
ЛИТЕРАТУРА
1. В., М., С., Е. Точные степенные решения кинетических уравнений для частиц.–ЖЭТФ, 1976, 71, вып. 1, с. 177-193.
2. И., С., Е.Неравновесные стационарные распределения частиц в твердотельной плазме. –ЖЭТФ, 1976, 71, вып. 4, с. 1421-1434.
3. П. Введение в кинетическую теорию газов. –М.: Наука, 1971. -226 с.
Основные порталы (построено редакторами)