Обработка результатов измерений с многократными наблюдениями

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
С МНОГОКРАТНЫМИ НАБЛЮДЕНИЯМИ

Цель работы: изучение методики обработки результатов прямых измерений с многократными наблюдениями.

Погрешности измерения цифровым омметром

Источниками погрешностей измерений сопротивлений цифровым омметром могут быть:

-  погрешность дискретности, возникающая в связи с тем, что образцовые сопротивления плеч при уравновешивании моста изменяются ступенями, дискретно;

-  неточность изготовления плеч моста;

-  погрешность из-за влияния наведенных на измеряемый объект ЭДС переменного тока с частотой питающей сети или больших индустриальных импульсных помех;

-  погрешность от наличия конечного значения порога чувствительности сравнивающего устройства и его изменения (дрейфа);

-  погрешность из-за изменения температуры окружающего воздуха, колебания напряжения питания и т. д.

Указанные погрешности по закономерности подразделяются на систематические и случайные. Систематическая погрешность при повторных измерениях одной и той же величины остается постоянной или изменяется по известному закону. Случайная погрешность при повторных измерениях одной и той же величины изменяется случайным образом. Примерами систематических составляющих погрешностей могут быть погрешности из-за неточности изготовления резисторов плеч моста, из-за медленных изменений температуры воздуха. К случайным составляющим погрешности можно отнести погрешность дискретности, погрешность от наличия порога чувствительности сравнивающего устройства и его дрейфа, погрешности из-за влияния наводок, помех, колебаний напряжения питания и т. д.

Систематические погрешности могут быть исключены или существенно уменьшены благодаря устранению самих источников погрешностей (например, точной подгонкой сопротивлений резисторов плеч моста, применением термостабильных элементов и схем), а также путем введения поправок в показания прибора.

Указанные меры позволили в цифровом омметре свести к минимуму систематическую составляющую погрешности, которой можно пренебречь по сравнению со случайной составляющей.

В отличие от систематических погрешностей случайные погрешности не могут быть исключены из результатов измерения, так как возникают вследствие одновременного воздействия многих известных и неизвестных, зависимых и независимых причин, они непостоянны по абсолютной величине и знаку. Единственный путь уменьшения случайных погрешностей – увеличение количества измерений в одинаковых условиях. По полученным значениям определяется среднеарифметическое, которое считается наиболее вероятным значением измеряемой величины.

Для оценки точности результата измерений необходимо знать закон распределения случайных погрешностей. В практике электрических измерений один из наиболее распространенных законов распределения случайных погрешностей – нормальный закон (Гаусса).

Математическое выражение нормального закона распределения случайных погрешностей при измерении сопротивлений имеет вид:

, (1.1)

где – плотность вероятности случайной погрешности ; σ – среднеквадратическая погрешность ряда из n наблюдений. Характер кривых, описываемых уравнением (1.1) для двух значений σ, показан на рис. 1.2.

Из кривых следует, что чем меньше σ, тем чаще встречаются малые случайные погрешности, т. е. тем точней выполнены измерения. Кривые симметричны относительно оси ординат, так как положительные и отрицательные погрешности встречаются одинаково часто. Вероятность P появления погрешности со значениями от до определяется площадью заштрихованного участка на рис.1.2 и вычисляется как определенный интеграл от функции :

.

Значения этого интеграла вычислены для различных пределов ±R и сведены в таблицы, приведенные в математических справочниках, а также в табл.1.3 настоящих методических указаний. Интеграл, вычисленный для пределов от R1= –до R2= +, равен единице, т. е. вероятность появления случайной погрешности в интервале от – до + равна единице. Это естественно, так как все погрешности имеют конечные значения.

 

Обработка результатов наблюдений

Определение результата измерения

По результатам n-кратных наблюдений определить среднее арифметическое значение Rср, которое принимается равным результату измерения:.

Вычисленное значение Rср записать в табл.1.1.

Таблица 1.1

Измеренные значения Ri, МОм	Остаточные погрешности ∆Ri=Ri–Rср, МОм	Квадраты остаточных погрешностей ∆Ri2, МОм2	σ, МОм	σА, МОм	Результат і–го наблюдения Rоi, МОм	Результат измерения R0, МОм
9,85	-0,16
10,00	-0,01
10,11	0,10
9,96	-0,05
10,08	0,07
9,89	-0,12
9,85	-0,16
10,22	0,21
10,15	0,14
10,14	0,13
10,08	0,07
10,03	0,02
10,06	0,05
9,89	-0,12
9,99	-0,02
10,05	0,04
9,97	-0,04
10,12	0,11
10,07	0,06
10,02	0,01
9,92	-0,09
10,05	0,04
9,95	-0,06
9,76	-0,25
9,90	-0,11
10,30	0,29
10,14	0,13
9.89	-0,12
9.93	-0,08
9.96	-0,05

Определение среднеквадратической погрешности ряда наблюдений

1 Вычислить остаточные погрешности Ri, представляющие собой разности между результатами отдельных наблюдений Ri и среднеарифметическим значением Rср: Ri = Ri – Rср.

2 Для контроля предыдущих расчетов просуммировать остаточные погрешности и убедиться в том, что алгебраическая сумма остаточных погрешностей практически равна нулю, т. е. .

3 Определить квадраты остаточных погрешностей Ri2.

4 Предполагая, что погрешности измерения распределены по нормальному закону, найти среднеквадратическую погрешность ряда наблюдений σ через остаточные погрешности ∆Ri:

.

Величина σ характеризует «в среднем» меру приближения результата отдельного наблюдения к среднему арифметическому, т. е. результату измерения. Остаточные погрешности, большие 3σ, считаются промахами и при обработке результатов наблюдений не учитываются. Результаты расчетов пп.1–4 внести в табл.1.1.

Определение среднеквадратической погрешности результата измерения

Вычислить значение среднеквадратической погрешности результата измерения, т. е. погрешности σA, с которой определено среднеарифмети­ческое значение Rср: . Результаты вычисления включить в табл. 1.1. При этом обратить внимание на то, что при увеличении числа наблюдений в n раз среднеквадратическая погрешность результата измерения уменьшается в раз по сравнению с погрешностью отдельного наблюдения.

Построение гистограммы распределения погрешностей

Указанное построение проводится для качественной проверки соответствия закона распределения погрешностей, полученных при многократных наблюдениях, нормальному закону распределения. Построение гистограммы провести в следующем порядке.

1 Выбрать величину ин­тервала статистического ряда погрешностей а (рис.1.3), для чего по табл.1.1 найти наибольшие по величине остаточные погрешности Ri разных знаков, по их разности определить диапазон наблюдаемых погрешностей b, разделить его на число интервалов r. Тогда интервал a = b/r. Принять r = 6. Если b не делится на r точно, то частное округлить до одной – двух значащих цифр.

2 Заполнить таблицу статистического ряда (табл.1.2). Для этого по табл.1.1 подсчитать число Sj остаточных погрешностей, лежащих в интервале 0 – a, а – 2а, 2а – 3а отдельно с плюсом и минусом. Числа Sj записать в табл. 1.2. В ту же таблицу внести частоты появления погрешностей, определяемые для каждого интервала как отношение числа погрешностей Sj к общему числу погрешностей n. Погрешности, точно совпадающие по значению с границей интервала, могут быть отнесены либо к j–1 интервалу, либо к j интервалу. Например, если таких погрешностей две, то их целесообразно разделить между смежными интервалами. Для определения высот прямоугольников гистограммы (см. рис.1.3) нужно частоты появления погрешностей разделить на величину интервалов. Вычисленные значения Sj/na внести в табл.1.2.

Таблица 1.2

Интервалы	0 – a	a – 2a	2a – 3a
Знак погрешностей	+	–	+	–	+	–
Число остаточных погрешностей Sj
Частоты появления погрешностей Sj / n
Высоты прямоугольников гистограммы Sj / na
Середины интервалов Ri
P(Ri)

3 Построить гистограмму, для чего по оси абсцисс отложить численные значения интервалов ±a, ±2a, ±3a. На каждом интервале, как на основании построить прямоугольник, площадь которого равна частоте появления погрешностей, лежащих в данном интервале. Значения высот прямоугольников взять из табл.1.2. Площадь гистограммы равна единице (из построения).

4 Построить на том же графике теоретическую кривую нормального распределения в соответствии с уравнением (1.1). Значения P(DRi) определить для точки DRi = 0 и середин интервалов DRi = ±a/2; ±3a/2, ±5a/2. Полученные значения занести на построенную гистограмму. Соединить нанесенные точки плавной кривой. Сравнить гистограмму с теоретической кривой нормального распределения.

Вычисление доверительного интервала погрешности результата наблюдения и результата измерения

1 Пользуясь табл.1.3, в которой рассчитаны для нормального закона вероятности P, соответствующие различным нормированным (отнесенным к s) погрешностям Zi = DRi/s, определить вероятности появления случай­ных погрешностей внутри интервалов Zi = 1,0 (DRi = ±s, при этом погрешность находится внутри интервала от –s до +s); Zi= 2,0 (DRi = ±2s), Zi= 3,0 (DRi = ±3s), Zi= 4,0 (DRi = ±4s).

Значения P, представляющие вероятности появления случайных погрешностей внутри заданных интервалов, внести в табл.1.4.

Рассчитать вероятности Q появления случайной погрешности за границами указанных интервалов: Q = 1 – P. Определить число измерений K (целое число), из которых только в одном появляется случайная погрешность за пределами интервала DRi > Zis (K = 1/Q). Полученные значения Q и K внести в табл.1.4.

Таблица 1.3

Zi	P	Zi	P	Zi	P	Z	P
0,0	0,000	1,0	0,683	2,0	0,954	3,0	0,9973
0,1	0,080	1,1	0,729	2,1	0,964	3,1	0,9980
0,2	0,159	1,2	0,770	2,2	0,972	3,2	0,9986
0,3	0,236	1,3	0,806	2,3	0,978	3,3	0,9990
0,4	0,311	1,4	0,838	2,4	0,983	3,4	0,9993
0,5	0,383	1,5	0,866	2,5	0,987	3,5	0,9995
0,6	0,451	1,6	0,890	2,6	0,991
0,7	0,516	1,7	0,911	2,7	0,993
0,8	0,576	1,8	0,928	2,8	0,995
0,9	0,632	1,9	0,943	2,9	0,996	4,0	0,99993

Таблица 1.4

Параметры	Значения нормированных погрешностей Zi
1	2	3	4
P
Q
K

2 Для заданной доверительной вероятности P = 0,997 найти интервал, в котором лежит истинное значение измеряемой величины Roi, т. е. доверительный интервал. Расчет выполнить для результата отдельного наблюдения (номер наблюдения Roi указывается преподавателем) по формуле Roi = Ri ± Zis, а также для результата измерения: Ro = Rср ± ZisA.

Для доверительной вероятности P=0,9973 доверительный интервал погрешности изменяется в диапазоне от –3σ до +3σ. Вероятность появления погрешности большей ±3σ, равна 1–0,9973=0,0027≈1/370. Такая доверительная вероятность означает, что из 370 случайных погрешностей только одна погрешность по абсолютному значению будет больше 3σ. Поэтому значение 3σ считается максимально возможной случайной погрешностью (в этом заключается «правило 3σ»). Погрешности, большие 3σ, считаются промахами и при обработке результатов измерений не учитываются.

Запись результата отдельного наблюдения и результата измерения

1 Представить результат i-го наблюдения в виде измеренного значения Ri и случайной погрешности измерения, определенной с доверительной вероятностью P = 0,997 (систематической погрешностью пренебречь):

Roi = Ri ± 3s, (P = 0,997).

Выразить результат i-го наблюдения в цифровой форме, приняв погрешность округления числа, выражающего погрешность измерения, не более 15%. Это означает, что абсолютные погрешности, имеющие в старшем разряде цифры 1 или 2, должны записаться двумя цифрами, например: 0,12; 2,5; 0,016, погрешности имеющие в старшем значащем разряде цифры 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, должны записываться одной цифрой, например: 4; 3; 0,4; 0,08. Число, выражающее наиболее достоверное значение Roi, записать таким количеством значащих цифр, которое соответствует погрешности измерения. Например, при Ri = 101,595 Ом; Zis= ±0,3 Ом; Roi = (101,6±0,3) Ом. При этом погрешность округления Ri будет всегда, по крайней мере, на порядок меньше погрешности наблюдения.

2 Представить результат измерения Ro в цифровой форме в виде:

Ro = Rср ± 3sA, (P = 0,997).

Сравнить результаты i-го наблюдения и результат измерения, внести их в табл. 1.1.

Оформление отчета

В контрольной работе должны быть приведены: цель работы, таблицы данных (табл. 1.1, 1.2, 1.4); построенные по данным табл. 1.2 кривые распределения погрешностей (см. рис. 1.3), основные расчетные формулы.

Контрольные вопросы

1 Дайте определение систематической и случайной погрешности измерения.

2 Назовите способы уменьшения систематической и случайной погрешностей.

3 Как определить результат измерения при многократных наблюдениях?

4 Что собой представляет остаточная погрешность?

5 В чем состоит отличие между среднеквадратической погрешностью результата наблюдения и результата измерения?