СБОРНИК НАУЧНЫХ ТРУДОВ НГТУ. – 2007. – № 4(50) – 63–68
УДК 519.24
CTRW-имитирование субдиффузионных
процессов на фрактальных множествах
Л. В. ПЕХТЕРЕВА©
В рамках CTRW-модели субдиффузии на евклидовых решетках в Rn, n = 1, 2, 3 получено необходимое и достаточное условие, определяющее класс асимптотически эквивалентных концентраций для этой модели. Показано, что распределение концентрации в случае субдиффузии на множестве дробной размерности с ненулевой связностью моделируется асимптотически однозначно блужданием на евклидовой решетке с плотностью вероятности задержки соответствующего класса.
ВВЕДЕНИЕ
Поровое пространство многих встречающихся в природе и технике пористых материалов представляет собой сложную геометрическую структуру, моделирование которой возможно только самоподобными или самоаффинными геометрическими множествами дробной размерности, [1]. Диффузия в таких средах характеризуется тем, что при t >> 0 средний квадрат перемещения растет по закону
, (1)
где a – показатель аномальности диффузии – выражается через связность самоаффинной структуры q в виде a = 2 / (2+q) [2].
При a < 1 аномальную диффузию называют субдиффузией, она наблюдается в ряде таких горных пород, как песчаник, угольные пласты, а также в средах с аэрогельной структурой и других материалах [1].
Прямое стохастическое моделирование диффузии на фракталах связано с определенными трудностями, о которых будет сказано ниже. Поэтому автором предлагается моделировать субдиффузию на множествах дробной размерности процессом CTRW-диффузии на евклидовых решетках с фиксированным шагом и плотностью вероятности задержки некоторого класса P.
Автором получено необходимое и достаточное условие, определяющее класс P функций плотности вероятности задержки этой модели, доказана теорема об асимптотической эквивалентности концентраций, отвечающих заданному начальному условию и любой функции задержки из этого класса P.
В качестве приложения показано, как по параметрам CTRW-модели определяются основные характеристики процесса субдиффузии на фрактале.
1. CTRW-модель субдиффузии на евклидовых решетках
Сформируем CTRW-модель субдиффузии на евклидовых решетках в
Rn (n = 1, 2, 3) в виде следующей системы аксиом (В):
1. Частицы находятся в узлах 
j Î Rn (n = 1, 2, 3), j Î Z равномерной решетки с шагом h в Rn. Распределение частиц по узлам 
задается функцией концентрации p(, t) (количество частиц, заключенных в элементе объема множества в заданной точке в момент времени t, отнесенное к общему количеству частиц, участвующих в диффузии).
2. Каждая частица задерживается в данном узле на некоторое случайное время t, после чего совершает мгновенное перемещение равновероятно в один из соседних узлов решетки. Заданы:
– плотность вероятности λ(
) перемещения;
– плотность вероятности f(t) случайной величины t, причем функции f(t) и λ() таковы, что выполняется соотношение (1) при a Î (0,1).
Так как в данной модели частица может переместиться только в один из соседних узлов решетки, то перемещение задается плотностью вероятности λ() в виде распределения из класса медленно растущих функций [4]
, (2)
где векторы 
– координатные орты, d – дельта-функция.
В этих предположениях для CTRW-модели субдиффузии (В) из общего уравнения CTRW-модели, [5] получаем уравнение
. (3)
Если Вы желаете скачать полную версию статьи, пройдите регистрацию на сайте http://sbornik. infoterra. ru/reg. php
© Аспирант кафедры высшей математики
