Контрольная работа

1.Решить систему линейных уравнений двумя способами: методом Крамера и матричным способом.

Решение

Выпишем главный определитель системы

Определитель отличен от нуля, следовательно решение существует и оно единственное

Заменим первый столбец столбцом свободных членов

Заменим второй столбец столбцом свободных членов

Заменим третий столбец столбцом свободных членов

Нашли решение системы уравнений

2 способ

Найдем обратную матрицу

Вычислим алгебраические дополнения

Тогда обратная матрица примет вид

Решение, найденное по методу Крамера совпадает с решением обратной матрицей.

2.В ромбе ABCD известны координаты вершин А и С и тангенс внутреннего угла С. Найти уравнения диагоналей и сторон, координаты двух других вершин, а также площадь этого ромба. Сделать чертеж.

34.

А (-19;-12)

С (-7;-3)

tg С = ¾

Решение

Известны координаты вершин А и С, значит можно найти уравнение диагонали АС по координатам

Нашли уравнение АС.

Известно диагонали ромба пересекаются под прямым углом. Значит можно найти уравнение второй диагонали. Угловой коэффициент найдем из правила

Найдем точку пересечения диагоналей. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Тогда координаты точки О

http://www. webkursovik. ru/kartgotrab. asp? id=-443

т. О (-13;-7,5)

уравнение диагонали BD

По условию задачи известен тангенс угла C. Найдем тангенс половины угла

Нашли 2 корня уравнения. Значение не подойдет, потому как угол однозначно острый. Значит

воспользуемся формулой

где угловые коэффициенты прямых, образующих угол

тангенс найден, можно найти угловой коэффициент стороны DС

Сторона DC проходит через точку C, значит можно найти уравнение DC

Поскольку у ромба стороны попарно параллельны, то такой же угловой коэффициент будет и у стороны AB. Сторона проходит через точку А, найдем уравнение AB

Аналогично найдем стороны BC и AD

Нашли уравнения сторон.

Найдем вершины как точку пересечения сторон

т D. (-11,5;-9,5)

т B. (-14,5;-5,5)

Найдем площадь

3. Найти производные функций:

а) в)

б) г)

Решение

б)

в)

г)

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

у = ах2 + bx и у = сх2 + dx

a

b

c

d

½

1

-3

8

Решение

Площадь криволинейной фигуры, ограниченной сверху графиком функции y=f(x) , слева и справа прямыми x=a, y=b соответственно, снизу графиком функции y=g(x) вычисляется по формуле

Построим область. Найдем точки пересечения графиков. Для этого решим систему уравнений

Подставим в формулу

5. Малое предприятие имеет два цеха - А и В. Каждому уста­новлен месячный план выпуска продукции. Известно, что цех А свой план выполняет с вероятностью р1. Вероятность выполне­ния плана цехом В при условии, что цех А выполнит свой план, равна р2. Известно также, что с вероятностью p3 может сло­житься ситуация, когда ни один из цехов свой план не выполнит.

Если оба цеха выполнят свои планы в предстоящий ме­сяц, то предприятие увеличит свой счёт в банке на 5 единиц; ес­ли оба не выполнят - снимет со счёта 4 единицы; если цех А выполнит, а цех В не выполнит - увеличит счёт только на 2 единицы; если же цех А не выполнит, а цех В выполнит - со­кратит свой счёт на 1 единицу.

Требуется:

1)  определить вероятность выполнения плана цехом В;

2)  выяснить, зависит ли выполнение плана цехом А от того, выполнит или не выполнит свой план цех В;

3)  найти вероятность того, что предприятию придётся снимать деньги со счёта в банке;

4)  определить, на сколько и в какую сторону (увеличения - уменьшения) изменится в среднем счёт предприятия в банке по результатам работы в предстоящем месяце (ожидаемое изменение счёта в банке).

Р1

Р2

Р3

0,3

1/3

0,2

Решение

Вероятность совместного появления событий

Нашли вероятность выполнения плана цехом B, она составит 0,6.

2)

следовательно события зависимы.

3) Предприятию придется снимать деньги в том, случае, если не выполнят план оба цеха или цех А не выполнит, а цех В выполнит план

Вероятность того, что оба цеха не выполнят план дана по условию задачи и составит 0,2

Найдем вероятность того, что цех А не выполнит план, а цех В выполнит

Тогда вероятность того, что придется снимать деньги составит 0,1+0,5=0,6

4)пусть X – случайная величина, показывающая изменения счета в банке, может принимать значения -4,-1,2,5

События
X
P

=0,2 по условию задачи

=0,5 найдено в пункте 3)

=

=0,1 найдено в пункте 1)

проверим

0,2+0,5+0,2+0,1=1

Сумма всех вероятностей равна 1

Найдем мат. ожидание

В среднем счет увеличится на 0,6 единиц.