Контрольная работа по общей физике 2 (стр. 7 )

3.10. Частица в потенциальном ящике шириной находится в возбужденном состоянии при . Определить в каких точках плотность вероятности нахождения частицы максимальна и минимальна.

4. Туннелирование

Пример 4.1. Определить вероятность отражения электрона при рассеянии его квантовой ямой глубиной в 1 эВ и шириной в 1 нм. Энергия падающего электрона равна 0.25 эВ. Построить график зависимости вероятности отражения электрона от его энергии.

На рис. 4.1 представлена координатно-энергетическая диаграмма квантовой структуры: , , эВ, эВ.

Математическая модель

(1)

Условие непрерывности на границах раздела слоев квантовой гетероструктуры, приведенной на рис. 4.1.

(2)

Решение (1) удобно представить в виде прямых и обратных плоских волн

(3)

(4)

(5)

где

(6)

(7)

Граничные условия такие

, (8)

. (9)

Требуется найти вероятность отражения

(10)

Решение

Удобно условия (2) представить в матричном виде

(11)

(12)

Наша задача найти амплитуды , амплитуда задана граничным условием (8). Из (11) находим амплитуды второго слоя

, (13)

а из (12) выразим амплитуды третьего слоя через амплитуды первого слоя

(14)

В сокращенной форме (14) запишется в виде

или (15)

С учетом граничного условия (9) запишем

(16)

И, окончательно, вероятность отражения электрона квантовой ямой есть

(17)

Предоставим умножение матриц в (14) вычислительной технике, запишем простейший код в maple

>

>

>

>

>

>

>

>

Построим требуемый график .

Рис.4.2 Вероятность отражения электрона от квантовой ямы в зависимости от энергии электрона.

Как видно из рис.4.2 за исключением отдельных значений энергии электрон отражается квантовой ямой, это квантовый эффект, так как классическая частица не отражается потенциальной ямой, но изменяет свою скорость в области изменения потенциальной энергии.

4.1. Электрон обладает энергией 10 эВ. Определить, во сколько раз изменится его скорость и длина волны де Бройля при прохождении через потенциальный барьер высотой 6 эВ бесконечной ширины.

4.2. Протон с энергией МэВ изменил при прохождении бесконечно широкого потенциального барьера длину волны де Бройля на . Определить высоту потенциального барьера.

4.3. На пути электронов с длиной волны де Бройля нм находится бесконечно широкий потенциальный барьер высотой 120 эВ. Определить длину волны де Бройля после прохождения барьера.

4.4. Электрон с энергией 100 эВ падает на бесконечно широкий потенциальный барьер высотой 64 эВ. Определить вероятность того, что электрон отразиться от барьера.

4.5.Коэффициент отражения протона от низкого потенциального барьера бесконечной ширины равен . Определить, какой процент составляет высота барьера от энергии падающих протонов.

4.6 Электрон с энергией эВ движется в положительном направлении оси . При какой ширине потенциального барьера коэффициент прозрачности , если высота барьера эВ?

4.7. Электрон проходит через прямоугольный потенциальный барьер шириной нм. Высота барьера больше энергии электрона на . Вычислить коэффициент прозрачности , если энергия электрона а) эВ; б) эВ.

4.8. Найти вероятность прохождения электрона через прямоугольный потенциальный барьер при разности энергий эВ, если энергия электрона равна 1 эВ и ширина барьера равна: а) нм, б) нм.

4.9 Протон и электрон прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов кВ. Во сколько раз отличается коэффициент прозрачности для электрона и для протона, если высота барьера кэВ, а ширина барьера пм?

4.10. Электрон с энергией движется в положительном направлении оси . При каком значении , выраженном в электрон-вольтах, коэффициент прозрачности равен , если ширина барьера нм?