Вариант 7.
108. Диск радиусом R=0,2м вращается согласно уравнению φ=A+Bt+Ct3, где А=3 рад,
В=-1рад/с, С=0,1 рад/с3. Определить тангенциальное ускорение аτ, нормальное ускорение аn, полное ускорение а точек на окружности диска для момента времени t=10c.
Решение.
Найдём угловую скорость ω 1/с, угловое ускорение ε 1/с2: ω= φ’=0+B+3Ct2, ε=ω’=0+6Ct,
ω(t=10)=-1+3∙0,1∙100=29 1/с; ε(t=10)=6∙0,1∙10=6 1/с2.
тангенциальное ускорение аτ(t=10)=Rε=0,2∙6=1,2 м/с2,
нормальное ускорение аn=Rω2=0,2∙292=168,2 м/с2,
полное ускорение а=√(аτ2+аn2)= √(62+168.22)=168,204 м/с2.
112.Орудие, жёстко закреплённое на железнодорожной платформе, производит выстрел вдоль полотна железной дороги под углом а=30° к линии горизонта. Определить скорость
u2 отката платформы, если снаряд вылетает со скоростью u1=480м/с. Масса платформы с орудием и снарядами m2=18т, масса снаряда m1=60кг.
Решение.
Предполагаем: система «платформа с орудием – снаряд» замкнутая, в ней действует закон импульса ( количество движения). Следовательно, запишем векторное равенство
m1u1+m2u2=0, преобразуем в скалярную форму m1u1cos30°-m2u2=0, отсюда
u2=m1/m2(u1cos30°)=60/18000∙(480∙0,866)=1,386м/с.
123. Вагон массой m=35т движется на упор со скоростью v=0,2 м/с. При полном торможе-нии вагона буферные пружины сжимаются на ∆l=0,12м. Определить максимальную силу Fmax сжатия буферных пружин и продолжительность ∆t торможения.
Решение.
При полном торможении вагона буферные пружины сжимаются на ∆l=0,12м и выполня-ется работа А=mvн2/2- mvк2/2=35000/2(0,22-0,02)=700Дж. Работа равна изменению кине-тической энергии вагона. Работа при сжатии буферных пружин dA=kxdx => A=k0∫0,2xdx=k/2x2│00,2= k/2(0,04-0)=0,02k, отсюда
k=A/0,02=700/0,02=35000Н/м. Fmax= k∆l=35000∙0,12=4200Н. Из уравнения равнозамедлен-ного движения следует ∆l= vнt-at2/2 и vк=vн-at, но vк=0 =>a=vн/t=0,2/t; =>∆l= vнt-(vн/t)t2/2,
=>∆l= vнt-vнt/2 => t=2∆l/vн=2∙0,12/0,2=1,2с.
134. Из ствола автоматического пистолета вылетела пуля массой m1=0,010кг со скоростью
v1=300 м/с. Затвор пистолета массой m2=0,200кг прижимается к стволу пружиной, жёст-костью k=25кН/м. На какое расстояние отойдёт затвор после выстрела? Считать пистолет жёстко закреплён.
Решение.
При перемещении затвора выполняется работа А=mvн2/2- mvк2/2=0,01/2(3002-0,02)=450Дж.
Работа перемещения затвора равна изменению кинетической энергии пули.
Работа при сжатии пружины dA=kxdx => A=k0∫Sxdx=k/2x2│0S= k/2S=> S=2A/k=2∙450/25000=0,036м.
146. По горизонтальной плоской поверхности катится диск со скоростью v=8м/с. Опреде-лить коэффициент сопротивления, если диск предоставленный самому себе, остановился, пройдя путь S=18м.
Решение.
Сила трения равна Fтр=mgf, работа по преодолению силы трения А=Fтрl=mgfl.
Эта работа равна изменению кинетической энергии диска А=m/2(vн2-vк2)+J/2(ωн2-ωк2),
но vк=0, ωк=0 и ω=v/r и J=mr2/2, получим А=m/2(vн2)+ mr2/4((vн/r)2)=3m/4(vн2), оконча-тельно mgfl=3m/4(vн2) => коэффициент сопротивления f=3/4(vн2)/g/l=0,75∙82/9,81/18=0,27
155. Шарик массой m=0,060кг, привязан к концу нити длиной l1=1,2м, вращается с часто-той n1=2 1/с, опираясь на горизонтальную плоскость. Нить укорачивается, приближая шарик к оси вращения до расстояния l2=0,6м. С какой частотой n2 будет при этом враща-ться шарик? Какую работу А совершает внешняя сила, укорачивая нить? Трением шарика о плоскость пренебречь.
Решение.
Шарик вращается по инерции, отсюда момент внешних сил относительно оси вращения равен нулю. Следовательно, момент импульса остается постоянным, тогда J1n1= J2n2, где
J1=ml12, J2=ml2, отсюда n2= J1n1/J2=(l1/l2)2n1=(1,2/0,6)2∙2=8 1/c.
Работа А, которую совершает внешняя сила равна изменению кинетической энергии шарика А=J1/2n12-J2/2n22=m(l22/2n22- l12/2n12)=0,060∙ (0,62/2∙82-1,22/2∙22)=0,5184Дж.
160. С поверхности Земли вертикально вверх пущена ракета со скоростью v=5000м/с. На какую высоту она поднимется?
Решение.
Предполагаем, что система «ракета-Земля» замкнутая. Единственная сила, действующая на систему гравитационная. С удалением ракеты от Земли её потенциальная энергия увеличивается и кинетическая убывает. mvo2/2-m02/2= m(GM/R-GM/(R+h), где
R=6,38∙106м-радиус Земли; G=6,67∙10-11м3/(кг∙с) 2-гравитационная постоянная; М=5,98∙1024кг – масса Земли;
отсюда vo2/2=GM(1/R-1/(R+h) =>
h/(R+h)=Rvo2/2/G/M=6,38∙106∙50002/2/(6,67∙10-11)/(5,98∙1024)=2∙10(6+6-13) =0,2 =>
h∙(1-0,2)=0,2∙R => h=0,2/0,8∙R=0,25∙6,38∙106=1,595∙106м
172. Найти максимальную кинетическую энергию Тmax материальной точки массой m=0,002кг, совершающей гармонические колебания с амплитудой А=0,040м и частотой
ν=5 Гц.
Решение.
Максимальная кинетическая энергия Тmax=mVmax2/2. Уравнение гармонических колебаний
S=Asin(2πνt), отсюда V=S’=A2πνcos(2πνt)=0,040∙2∙π∙5∙cos(2πνt)=1,257∙cos(2πνt),
но │cos(2πνt)│ <1, следовательно Vmax=1,257м/с.
Тmax=0,002∙1,2572/2=0,0016Дж.
201. Определить количество вещества ν и число N молекул кислорода массой m=0,5кг.
Решение.
Количество вещества v=m/М=0,5/32=0,015625, здесь М=2∙16 –молярная масса кислорода.
v=N/No=> N=vNo=0,015625∙6,02∙1023=0,094∙1023.
212. Вычислить плотность ρ азота, находящегося в баллоне под давлением р=2 МПа и имеющего температуру Т=400°К.
Решение.
Запишем основное уравнение газового состояния pV=m/M∙R∙T, где М=2∙14кг/кмоль, R=8,31кДж/(кг∙К); отсюда ρ=m/V= Mp/R/T =28∙2∙106/(8,31∙103)/400=16,847кг/м3.
232. В азоте взвешены мельчайшие пылинки, которые движутся так, как если бы они были очень крупными молекулами. Масса mo каждой пылинки равна 6∙10-10 г. Газ находится при температуре Т=400°К. Определить средние квадратичные скорости <Vкв>, а так же средние кинетические энергии <Епост> поступательного движения молекулы азота и пылинки.
Решение.
Средние квадратичные скорости пылинки <Vкв>=√(3kT/mo)=√(1,38∙10-23∙400/(6∙10-13))= =95,92∙10-4 м/с, здесь k=1,38∙10-23 -постоянная Больцмана.
<Vкв>=√(3RT/M)=√(3∙8,31∙400/28)=18,87 м/с.
Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы азота
<Епост>=3/2kT=3/2∙1,38∙10-23∙400=828∙10-23Дж.
Средняя кинетическая энергия поступательного движения пылинки
<Епост>=m∙<Vкв>2/2=6∙10-13∙(95,92∙10-4)2/2=2,76∙10-13-8+4=2,76∙10-17Дж.
240. Одноатомный газ при нормальных условиях занимает объём V=5л. Вычислить теплоёмкость Сv этого газа при постоянном объёме.
Решение.
Нормальные условия: р=0,101МПа; Т=27+273=300°К
Изохорная теплоёмкость газа Cv= Cvμ∙m/M, где
Cvμ=iR/2–молярная изохорная теплоёмкость газа, i=3 – число степеней свободы одноатомного газа, R=8,31 Дж/моль/К.
Из уравнения Клапейрона - Менделеева pV=m/M∙R∙T => m/M=p∙V/R/T =>
Cv= iR/2∙p∙V/R/T=3/2p∙V/T=1,5∙0,101∙106∙0,005/300=2,525∙103Дж/кг/К
254 Кислород находится под давлением р=133∙10-9 Па при температуре Т=200°К. Вычис-лить среднее число <z> столкновений молекулы кислорода при этих условиях за время τ=1с.
Решение.
Среднее число соударений молекулы кислорода за τ=1с <z>=<V>/<λ>, где
<V>=√(8RT/π/M)= √(8∙8,31∙200/3,142/32)=11,5м/с –средняя арифметическая скорость.
<λ>=kT/(√2πd2p)=1,38∙10-23∙200/(1,414∙3,142∙(2,9∙10-10)2∙133∙10-9)=0,056∙10-23+20+9 =0,56∙105 - средняя длина пробега,
Здесь d=2,9∙10-10м – эффективный диаметр молекулы кислорода.
Получим <z>=11,5/0,56∙105=20,7∙10-5
262 Кислород массой m=0,25кг, имевший температуру Т1=200°К, был адиабатно сжат. При этом была совершена работа А=25кДж. Определить конечную температуру газа Т2.
Решение.
Работа при адиабатном процессе А= vСv(Т2- Т1)=m/M∙Сv∙ (Т2-Т1) =>
Т2=Т1+A/(m/MСv)=200+25/(0,25/(2∙16)∙0,653)=200+196=396°К, здесь Сv=0,656кДж/кг/К
265. Определить работу А34 изотермического сжатия газа, совершающего цикл Карно, КПД которого η=0,4, если работа изотермического расширения А12=8Дж.
Решение.
КПД η= А/Q1, здесь А –произведённая работа, Q1-количество тепла подведённое рабочему телу; но А=Q1-Q2 , где Q2 – количество тепла отведённое холодильнику η=(Q1-Q2)/Q1
Полная работа равна сумме работ при изотермическом сжатии и расширении равна А=А12+А34=ηА12, отсюда А34=(η-1)А12=(0,4-1)∙8=-4,8Дж
278. Глицерин поднялся в капиллярной трубке диаметром канала d=0,001м на высоту h=0,020м. Определить поверхностное натяжение глицерина σ. Считать смачивание полным.
Решение.
Высота поднятия глицерина в капиллярной трубке h=2σ∙cosφ/(ρ∙g∙d/2)=>
σ=h/2/cosφ∙ρ∙g∙d/2=0,020/2/1,0∙1,26∙103∙9,81∙0,001/2=0,0618Н/м, здесь
cosφ=1 - смачивание полное; ρ=1,26∙103кг/м3
303. Два положительных заряда q и 9q закреплены на расстоянии l=1,0м друг от друга. Определить, в какой точке на прямой, проходящей через заряды, следует поместить тре-тий заряд Q, чтобы он находился в равновесии. Указать, какой знак должен иметь заряд, чтобы равновесие было устойчивым, если перемещение заряда возможно только вдоль прямой, проходящей через закреплённые заряды.
Решение.
При равновесии на заряд Q действуют силы, равные по модулю и противоположные по направлению. Модуль F=qQ/(l-x)2=9qQ/x2 => 1/(l-x)2 =9/x2 => (l-x)2 =x2 =>9-18x+9x2= x2
x2-9/4x+9/8=0 x=1,125±0,375, x=0,75м.
Равновесие устойчивое при отрицательном знаке Q, так как результирующая сила возвра-щает заряд в точку равновесия; величина заряда несущественна.
321. Две длинные прямые параллельные нити находятся на расстоянии d=0,050м. На нитях равномерно распределены заряды с линейными плотностями τ1=-5нКл/см и
τ2=10нКл/см. Определить напряжённость Е электрического поля в точке удалённой от первой нити r1=3см и от второй нити r2=4см.
Решение.
Напряжённость поля, создаваемого длинной прямой нитью Е=τ/(2πεε0r), тогда
каждая нить создаёт свою напряжённость:
Е1=τ1/(2πεε0r1)=5∙10-9/(2∙3,14∙1∙8,85∙10-12∙0,03)=3∙10-9+12=3∙103В/м.
Е2=τ2/(2πεε0r2)=10∙10-9/(2∙3,14∙1∙8,85∙10-12∙0,04)=4,5∙10-9+12=4,5∙103В/м.
Угол между векторами Е1 и Е1 прямой, так как d2= r12+ r22. получим напряжённость поля от двух нитей Е=√(Е12+Е22)=√((3∙103)2+(4,5∙103)2)=5,41∙103В/м.
327. Поле образовано бесконечной равномерно заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда σ=40нКл/м2. Определить разность потенциалов U двух точек поля, от-стоящих от плоскости на r1=15см и r2=20см.
Решение.
Напряжённость электрического поля бесконечной равномерно заряженной плоскости
Е= σ/2/ε/ε0=40∙10-9/2/1/8,85∙10-12=2,26∙103В/м, но разность потенциалов U=(φ2-φ1)=Е(r2- r1)=
=2,26∙103(0,20-0,15)=0,113∙103В
335. Найти отношение скоростей ионов Cu++ и К+, прошедших одинаковую разность потенциалов.
Решение.
Работа сил электростатического поля А=eU: А1=2eU – для Cu++ и А2=eU – для К+.
Но работа сил электростатического поля равна изменению кинетической энергии иона до и после прохождения ускоряющего потенциала, скорость иона до прохождения ускоряю-щего потенциала равна нулю. А1=2eU=m1V12/2 и А2=eU=m2V22/2, получим
А1/А2=2= m1V12/ m2V22/ => V1/ V2=√(2m2/m1)=√(2m2отн/m1отн)= √(2∙39/64)=1,104, здесь
m1отн=64 - относительная масса иона Cu++;
m1отн=39 - относительная масса иона К+.
341. Расстояние между пластинами плоского конденсатора d=0,002м, разность потенциа-лов U=600В. Заряд каждой пластины Q=40нКл. Определить энергию W поля конденсато-ра и силу взаимного притяжения пластин.
Решение.
Энергия заряженного конденсатора W=QU/2=40∙10-9∙600=24∙10-6Дж.
Заряд Q одной пластины находится в поле напряжённости Е второй пластины,
E=U/d=600/0,002=3∙105 В/м. Сила действующая на заряд пластины
F=QE=40∙10-9∙3∙105=12∙10-3 H.
350. ЭДС батареи ε=80В, внутреннее сопротивление Ri=5Ом. Внешняя цепь потребляет мощность Р=100Вт. Определить силу тока I в цепи, напряжение U и её сопротивление R.
Решение.
Напряжение цепи U=ε-IRi, мощность цепи Р=UI=(ε-IRi)I, отсюда - RiI2+εI-P=0 =>
I2-16I+20=0; I=8±√(64-20)=8±6,63A, получили ток I=1,367A;
напряжение U=80-5∙1,367=73,166В; сопротивление находим из Р=I2R, получим
R=P/ I2=100/1,869=53,51Ом.
368. Два источника тока с ЭДС ε1=12В и ε2=8В и внутренними сопротивлениями R1=4 Ом, R2=2 Ом, а также реостат R=20 Ом соединены, как показано на рис.22. Определить силы токов в реостате и источниках тока.
Решение.
Запишем 1-й закон Кирхгофа I=I1+I2 (для реостата), запишем 2-й закон Кирхгофа для контуров:
I1(R1+R)=ε1 , I2(R2+R)=ε2 => I1=ε1/(R1+R)=12/(20+4)=0,5A, I2=ε2/(R2+R)=8/(20+2)=0,364A.
Находим ток в реостате I=0,5+0,364=0,864А.
373. Объём газа, заключённого между электродами ионизационной камеры, V=0,8л. Газ ионизируется рентгеновским излучением. Сила тока насыщения Iнас=6нА. Сколько пар ионов образуется за время t=1c в объёме V1=1см3 газа. Заряд каждого иона равен элементарному заряду.
Решение.
В объёме ионизационной камеры содержится V=0,8∙103=800 см3.
Ток насыщения Iнас=q/t=eN/t, находим число пар ионов в объёме ионизационной камеры
N= Iнасt/e=6∙10-9∙1/1,60∙10-19=3,75∙1010. Тогда за время t=1c в объёме V1=1см3 газа образуется n=N/800=4,688∙1010 пар ионов.
