Международный Фестиваль «Звезды Нового Века» - 2016

Точные науки (от 11 до 13 лет)

Решение задач на переливание методом бильярдного шара

Исследовательская работа

Выполнила ученица 6 б класса Муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения «Октябрьская средняя общеобразовательная школа №1» Устьянского района Архангельской области

Научный руководитель: учитель математики Муниципального бюджетного общеобразовательного учреждения «Октябрьская средняя общеобразовательная школа №1» Устьянского района Архангельской области

2016 год

Содержание

	стр.
Введение	3
Глава 1.Задачи на переливание. Метод бильярдного шара	4
	1.1.	История задач на переливание	4
	1.2.	Способы решения задач на переливание	5
Глава 2. Решение задач на переливание	8
	2.1.	Эксперимент	8
	2.2.	Результаты эксперимента	10
Заключение	11
Список использованной литературы	12
Приложение. Решение задач бильярдным способом	13

Введение

Задачи на переливание - один из видов математических задач. Они возникли много веков назад. Однако данные задачи до сих вызывают интерес у любителей математики, и их часто можно встретить в олимпиадных задачах для 5-6 классов. Для решения таких задач обычно используют табличный или словесный способ решения. Однако у этих методов есть один существенный недостаток. Сложно просчитать число наименьшего варианта переливаний. Механизировать решение данных задач с помощью «умного» шарика предложил в книге «Занимательная геометрия» [7]. Мне очень понравилось решать задачи на переливание данным способом. Он называется «метод бильярдного шара». Но в книге ничего, не сказано является ли данный метод универсальным, т. е. все ли задачи на переливание можно решить данным способом.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Цель: выяснение универсальности метода бильярдного шара при решении задач на переливание.

Задачи:

1. Проанализировать имеющуюся литературу по данной теме и выбрать в найденной литературе задачи на переливание

2. Попробовать решить найденные задачи на переливание методом бильярдного шара и сделать вывод об универсальности бильярдного способа решения задач на переливание.

Гипотеза: я считаю, что метод бильярдного шара является универсальным методом при решении задач на переливание.

Объект исследования: задачи на переливание

Предмет исследования: метод бильярдного шара

Методы исследования: поисковой, анализ, анкетирование, эксперимент.

Практическое значение: данная работа может представлять интерес для ребят, которые любят решать логические задачи, в частности задачи на переливание.

Глава 1. Задачи на переливание. Метод бильярдного шара

1.1. История задач на переливание

Согласно толковому словарю Ожегова Сергея Ивановича:

Задача –

1. То, что требует исполнения, разрешения. Поставить задачу. Выполнить задачу.

2. Упражнение, которое выполняется посредством умозаключения, вычисления. Арифметическая, алгебраическая.

3. Сложный вопрос, проблема, требующие исследования и разрешения. Научная задача.

Перелить - налить, вылив из одного сосуда, емкости в другой (другую). Пример: молоко из бидона в кувшин.

На основании вышеизложенного материала можно сделать вывод, что задачи на переливание - это упражнения, которые выполняются посредством умозаключения, вычисления, в условии которых жидкость наливается из одного сосуда в другой.

Непросто определить, в каком трактате впервые появились задачи на переливание жидкостей. В одном средневековом сочинении, относящемуся к середине 13-го столетия, предлагается такого рода задача:

«Господин послал своего слугу в ближайший город купить 8 мер вина. Когда слуга, выполнив поручение, собирался домой, ему повстречался другой слуга, которого господин тоже послал за вином. «Сколько у тебя вина?» - спрашивает второй слуга. «8 мер», - отвечает тот. «Мне тоже нужно купить вина». «Ты уже ничего не получишь, так как в городе больше вина нет», - заявляет первый. Тогда второй слуга просит его поделиться с ним вином и показывает ему имеющиеся при нём два сосуда, один в 5, другой в 3 меры. Как произвести делёж при помощи этих трёх сосудов? (т. е. у каждого из слуг должно получиться ровно по 4 меры вина)».

С решением одной из сложных задач о переливаниях, связывают раскрытие математических способностей выдающегося французского математика С. Д. Пуассона. Говорят, что эта задача сыграла решающую роль в выборе его профессии. Однажды, знакомый принес юному Пуассону несколько задач на переливание, разного уровня сложности. Пуассон решил их менее чем за час, и определил выбор своей будущей профессии - математик.

1.2. Способы решения задач на переливание

Большинство задач на переливание можно представить двумя типами:

1. «Водолей» - задачи, в которых необходимо получить некоторое количество жидкости с помощью нескольких пустых емкостей из бесконечного источника, из которого можно наливать жидкость, и в который ее можно выливать.

2. «Переливашка» - задачи, в которых необходимо разделить жидкость в большей емкости с помощью нескольких меньших по объему емкостей, жидкость можно только переливать из одной емкости в другую;

Известны алгоритмы решения задач «водолеев» и «переливашек». Как правило, оформляются задачи на переливание с помощью таблицы.

Приведу пример решения одной задачи на переливание табличным способом.

Задача. Имеются три сосуда вместимостью 8, 5 и 3 литра. Наибольший сосуд полон молока. Как разделить это молоко на две равные части, используя остальные сосуды?

Решение:

В таблице 1 с. 6 указан объем молока в литрах после каждого переливания.

Таблица 1.

Количество переливаний	8-литровый сосуд	5-литровый сосуд	3-литровый сосуд
1	8	0	0
2	3	5	0
3	3	2	3
4	6	2	0
5	6	0	2
6	1	5	2
7	1	4	3
8	4	4	0

В отличии от табличного способа решения задач на переливание, решение задач на переливание способом бильярдного шара сводится к построению многоугольника (прямоугольника, параллелограмма), длины соседних сторон которого равны вместимости ведер (например 1см = 1л). Затем строится сетка, пример которой представлен на рисунке 1 с. 7.

Вначале шарик находится в точке (0,0).

Из данной точки он на выбор может катиться по одной из сторон многоугольника, а далее только по внутренней сетке до тех пор, пока не докатится до точки, соответствующей той емкости, которую нужно отлить в данной задаче.

Шарик движется только по внутренним линиям сетки.

Затем решение задачи можно оформить в виде таблицы 2 с. 7.

Таблица 2.

4
3
2
1
	(0,0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Рис.1. Сетка для решения задач бильярдным способом.

Таким образом, метод математического бильярда ещё один изящный метод решения логических задач на переливание.

Глава 2. Решение задач на переливание

2.1. Эксперимент

Посетив библиотеки МБОУ №1, районную библиотеку, детскую районную библиотеку, были отобраны все книги, в которых встречаются задачи на переливание.

Данные задачи я попыталась решить методом бильярдного шара. Условия задач и их решения находятся в приложении.

Поскольку данный метод решения задач очень мне понравился и показался самым простым из всех известных мне методов решения задач на переливание, меня заинтересовало мнение других о данном методе. Было решено провести эксперимент.

Цель: знакомство с решением задач на переливание методом бильярдного шара одноклассников и ребят третьего класса, выявление интереса к данному методу.

На классном мероприятии я познакомила своих одноклассников с методами решения задач на переливание (алгоритм, таблица, метод бильярдного шара). После этого я провела эксперимент:

1. Сначала я предложила учащимся моего класса решить задачу на переливание любым известным им способом в течение пяти минут. Справился 1 человек табличным методом.

2. Кто не сумел справиться с задачей, предложила решить ее с помощью алгоритма решения задач на переливание табличным способом в течение пяти минут. Справилось 3 человека.

3. После этого я показала способ решения методом бильярдного шара. Затем предложила самостоятельно решить еще одну задачу методом бильярдного шара в течение пяти минут. Справились 21 человек.

После этого с целью рефлексии было проведено анкетирование.

Вопросы для анкетирования:

1. Нравятся ли тебе задачи на переливание?

1. Да 2. Нет 3. Не знаю

2. Какие способы ты раньше знал?

1. Табличный 2. Бильярдный 3. Не знаю 4. Другое

3. Слышал ли ты раньше о бильярдном способе решения задач на переливание?

1. Да 2. Нет 3. Не знаю

4. Какой способ легче, бильярдный или табличный?

1. Бильярдный 2. Табличный 3. Не знаю

5. Будешь ли ты пользоваться способом бильярдного шара в решении задач на переливание?

1. Да 2. Нет 3. Не знаю

Результаты анкетирования представлены в виде диаграмм:

Затем такое же занятие было проведено с учениками 3б класса. С ними было также проведено анкетирование, результаты которого представлены на диаграмме.

2.2. Результаты эксперимента

Анкетирование показало, что эксперимент выявил интерес у большинства ребят к методу бильярдного способа решения задач на переливание. Он познакомил с решением задач на переливание методом бильярдного шара одноклассников и ребят третьего класса.

При решении задач выяснилось, что есть такие задачи на переливание которые нельзя решить методом бильярдного шара. Это задачи, где требуется найти вместимость емкостей, и задачи где при переливании участвуют несколько жидкостей, причем после каждого переливания они смешиваются. Нужно отметить, что данные задачи также невозможно решить с помощью алгоритма. Решаются они по действиям или составлением уравнения, или поиском закономерности.

Заключение

В ходе выполнения работы, я узнала, что такое задачи на переливание и основные методы решения задач на переливание.

Целью работы была проверка универсальности метода бильярдного шара при решении задач на переливание.

Для этого в библиотеках была отобрана литература по данной теме. Все найденные задачи были мною решены.

Кроме того был проведен эксперимент с одноклассниками и учащимися 3 б класса.

В ходе эксперимента были сделаны следующие выводы:

- Ребятам понравились задачи на переливание.

- Многие ребят знали табличный способ, а бильярдный был знаком немногим. Многие ребята отметили, что бильярдный способ решения задач на переливание проще, чем бильярдный. Теперь и третьеклассники, и одноклассники будут пользоваться этим методом.

В результате проделанной работы были сделаны следующие выводы:

- Не все задачи на переливание можно решить методом бильярдного шара. Методом бильярдного шара можно решить задачи «водолеи» и «переливашки».

- Нельзя решить задачи данным методом, где нужно найти вместимость емкостей и где в задаче участвуют несколько жидкостей, причем жидкости после каждого переливания смешиваются и нужно определить какой жидкости больше.

Цель исследования достигнута. Моя гипотеза подтвердилась частично.

Я думаю, мое исследование будет полезно всем ребятам, увлекающимся математикой и решением логических задач.

Список литературы

1. Дышинский математического кружка. Пособие для учителя. - М.: Просвещение,1972. - 141 с.

2. Дышинский математического кружка. Приложение 4 и 5.- М.: Просвещение,1972. - 143 с.

3. , , Якир 5 класс М.: Вентана - Граф, 2014. - 302 с

4. Нестеренко на смекалку.- М.: Дрофа, 2005. - 233 с.

5. Ожегов словарь русского языка. - М.: А Темп, 2006. - 945 с.

6. , , Потапов занимательные задачи. - М.: Дрофа, 2005. - 173 с.

7. Перельман геометрия. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1959. - 297 с.

8. Шарыгин на смекалку, 5-6 класс. - М.: Дрофа, 2005.- 92 с.

Приложение 1.