Практикум 2-14. Волны де Бройля, соотношение неопределенностей

Практикум 2-14. Волны де Бройля, соотношение неопределенностей

Корпускулярно-волновой дуализм есть соответсвие

Энергия	частота	(1)
Импульс	волновой вектор	(2)

Длина волны де Бройля

(3)

Фазовую скорость волны де Бройля найдем из условия

. (4)

Групповая скорость волнового пакета

(5)

Соотношение неопределенностей Гейзенберга

, , , (6)

Связь между импульсом и кинетической энергией частицы

(7)

Пример 14.1. Найти дебройлевскую длину волны протонов, если при попадании в поперечное магнитное поле с индукцией 1.00 кГс радиус кривизны их траекторий равен мм.

Решение

Радиус кривизны траектории протона определяется , как было нами ранее рассмотрено (лекция 1), где угловая скорость протона есть . Учитывая (3) запишем и . В расчетной формуле отсутствует масса протона, однако неявно она включена в размер орбиты. Переведем Гаусс в Тесла согласно отношению 1 Гс = Тл, тогда Тл. Подставляем численные значения исходных величин в расчетную формулу, получаем м.

Ответ: м.

Пример 14.2. Найти длину волны де Бройля для электрона, движущегося по круговой орбите атома водорода, находящегося в основном состоянии

Решение

Атом водорода удивительный объект, именно для него получаются согласующиеся результаты квазиклассических и квантовых расчетов. Воспользуемся дополнительным условием квантования: момент импульса электрона кратен постоянной Планка . Радиус орбиты электрона в основном состоянии равен боровскому радиусу Å. Тогда , а расчетная формула равна, согласно (3): . Подставляем численные значения исходных величин в расчетную формулу, получаем м.

Ответ: м.

Пример 14.3. Параллельный пучок моноэнергетических электронов падает нормально на диафрагму с узкой прямоугольной щелью ширины мкм. Определить скорость этих электронов, если на экране, отстоящем от щели на расстояние см, ширина центрального дифракционного максимума равна мм.

Решение

Угол дифракции найдем из условия , где , с другой стороны из треугольника АВС угол дифракции найдем из и . Итак, дебройлевская длина волны . скорость электрона определяется из (3) . Расчетная формула принимает вид:

. Подставляем численные значения исходных величин в расчетную формулу, получаем м/с.

Ответ: м/с.

Пример 14.4. Оценить относительную ширину спектральной линии, если известны время жизни атома водорода ( с) в возбужденном состоянии и длина волны излучаемого фотона мкм.

Решение

Из спектроскопических экспериментов следует, что возбужденное состояние имеет небольшую, но конечную ширину , что проявляется в спектрах атомов. Это означает конечное время жизни атома в возбужденном состоянии. Учитывая последнее соотношение (6), получаем , а из (1) получаем: . Тогда относительная ширина уровня энергии возбужденного атома равна: или . Подставляем численные значения исходных величин в расчетную формулу, получаем . Такова узость спектральных линий серии Лаймана при переходе из первого возбужденного состояния в основное.

Ответ: .

Пример 14.5. Оценить с помощью соотношения неопределенностей минимальную кинетическую энергию электрона, локализованного в области размером нм.

Решение

Считаем, что внутри потенциальной ямы электрон движется с нерелятивистской скоростью. Кинетическая энергия в нерелятивистской области есть , а импульс можно оценить из условия , где ограничена снизу соотношением неопределенности (6): , где . При уменьшении импульса мы не можем уменьшить из-за ограничения Гейзенберга, тогда как никто не запрещает уменьшить до нуля, что соответствует минимальной кинетической энергии. Таким образом, . Итак, конструируем формулу минимальной кинетической энергии: . Подставляем численные значения исходных величин в расчетную формулу, получаем Дж или эВ.

Примечание. В некоторых задачниках используют соотношение неопределенности типа , тогда ответ для нашей задачи будет в четыре раза больший.

Ответ: эВ

Пример 14.6. Свободный электрон в момент локализован в области нм (порядок размера атома). Оценить ширину области локализации электрона спустя одну секунду.

Решение

Движущуюся свободную частицу можно представить как волновой пакет, ширина которого определяет область локализации частицы. Расплывание волнового пакета связано с дисперсией групповой скорости и равно (Можно показать, что связано с третьим слагаемым в разложении частоты по волновому числу, см. лекцию). По определению: . Считая, что групповая скорость зависит от импульса, тогда приращение групповой скорости есть . (с учетом (1)-(2) ).

Так как , а , тогда производная .

Согласно (6) и . Таким образом, локализация частицы в момент времени равна . Подставляем численные значения исходных величин в расчетную формулу, получаем м.

За 1 секунду область локализации электрона увеличилась в раз.

Примечание. Для гауссового волнового пакета ассоциированного со свободным электроном расплывание пакета можно подсчитать точно ([4] стр.302). Ответ такой: , где . Подставляем численные значения исходных величин в расчетную формулу, получаем м. Считая, что последняя оценка более точна, найдем относительную ошибку первой оценки, она равна 0.5, что для оценок по порядку величины хорошо согласуются.

Ответ: м.

А14.1. Электрон движется по окружности радиусом 0.5 см в однородном магнитном поле с индукцией 8 мТл. Определить длину волны де Бройля электрона. (0.1 нм)

А14.2. Какую энергию необходимо дополнительно сообщить электрону, чтобы его дебройлевская длина волны уменьшилась с 100 пм до 50 пм? (450 эВ).

А14.3. При каком значении кинетической энергии дебройлевская длина волны электрона равна его комптоновской длине нм? (0.212 МэВ)

А14.4. Какой кинетической энергией обладает электрон с длиной волны де Бройля, равной граничной длине волны рентгеновских лучей, возникающих в трубке при разности потенциалов 40 В?

А14.5. Электрон с кинетической энергией 15 эВ находится в металлической пылинке диаметром 2 мкм. Оценить относительную неточность скорости, с которой может быть определена скорость электрона ()

А14.6. Оценить низший энергетический уровень электрона в атоме водорода. (-13 эВ).

А14.7. Ускоряющее напряжение на электронно-лучевой трубке 10 кВ. Расстояние от электронной пушки до экрана 20 см. Оценить неопределенность координаты электрона на экране, если след электронного пучка на экране имеет диаметр 0.5 мм (0.4 нм).

Задание на дом: [1]: 45.3, 45.12, 45.24, 45.28,45.33

Литература

1.  , Воробьев по физике. Изд. 5-е. М. Высшая школа, 1988.

2.  Савельев общей физики. Том 2. Электричество и магнетизм, Волны, Оптика. М.: Наука, 1988. – 496 с.

3.  www. ph4s. ru

4.  , Штыгашев квантовая механика. Новосибирск: НГТУ, 2007.-476с.

ПРИЛОЖЕНИЕ

1 эВ – Дж