Тема 5. Средние величины и показатели вариации

Тема 5. Средние величины и показатели вариации.

1.  Сущность и значение средних величин.

2.  Виды средних и методы их расчета.

3.  Свойства средних величин.

4.  Структурные средние.

5.  Показатели вариации.

1.  Сущность и значение средних величин.

Средняя является обобщающим показателем, с помощью которого можно охарактеризовать совокупность по количественно варьирующему признаку. Она отражает то общее, что складывается во всей совокупности и незаметно в отдельном объекте. Благодаря этому средняя получает большое значение для выявления закономерностей, присущих массовым явлениям.

Статистическая средняя рассчитывается на основе массовых данных, полученных в ходе статистического наблюдения, и будет типична только в том случае, если рассчитывается для качественно однородной совокупности.

Индивидуальные значения признака отклоняются от средней на случайную величину, но при этом закономерностью является то, что сумма всех отклонений индивидуальных значений признака от средней равна нулю.

При помощи средних в экономике решаются следующие задачи:

1.  Дается характеристика уровня развития явления;

2.  Производится сравнение одинаковых признаков в двух или нескольких различных совокупностях ;

3.  Дается характеристика изменения уровня явления во времени;

4.  Выявляются связи между явлениями;

5.  Осуществляется прогнозирование будущих уровней явления и делается оценка степени достоверности расчетов.

2.  Виды средних и методы их расчета.

Для осреднения различных признаков используются разные виды средних величин. Выбор вида средней осуществляется индивидуально в каждом случае и зависит от наличия исходных данных и вида признака.

Простая средняя используется в тех случаях, когда каждое значение признака встречается только один раз.

Если некоторые значения признака повторяются неоднократно, т. е. данные сгруппированы, для расчета средней используются взвешенные формы.

Основные обозначения:

- среднее значение признака;

хi - индивидуальные значения осредняемого признака;

n - количество единиц совокупности;

fi - частота (вес) индивидуальных значений осредняемого признака;

wi = xifi - произведение индивидуального значения признака и его частоты.

Таблица 5.1

Виды и формы средних величин

	Формы	Простая	Взвешенная
Виды
1	2	4
1. Арифме­тическая
2. Гармони­ческая
3. Квадра­тическая
4. Геомет­рическая
5. Хроноло­гическая		-

В том случае, когда нет данных о частотах отдельных признаков, но имеются сведения о произведении индивидуального значения признака на его частоту, среднюю арифметическую можно заменить средней гармонической. При этом гармоническая простая используется только тогда, когда равны объемы совокупностей.

Пример расчета средней гармонической простой:

Одинаковая товарная масса на разных предприятиях имела сроки обращения 20, 5 и 2 дня соответственно. Следует определить среднее время обращения.

Пример расчета средней гармонической взвешенной:

Рассчитать среднюю цену единицы товара по трем городам, вместе взятым:

Город	Цена единицы товара, руб.	Объем продаж, тыс. руб.	Частоты,
1	30	600	20
2	20	1000	50
3	35	350	10
Итого	х	1950	80

Средняя квадратическая, простая и взвешенная, используется, как правило, для расчета средних отклонений.

Геометрическая средняя используется для осреднения таких признаков, для которых характерна мультипликативная зависимость. Чаще всего гармоническая средняя используется для расчета средних темпов роста и средних индексов.

Хронологическая средняя применяется для расчетов средних уровней в моментных рядах динамики.

3.  Свойства средних величин.

Средние обладают рядом свойств, которые позволяют значительно облегчить расчеты.

1.  Сумма отклонений всех реальных значений признака от средней равна нулю:

= 0

2.  Если все частоты разделить или умножить на какое-либо одинаковое число, средняя от этого не изменится.

3.  Если от индивидуальных значений признака отнять или прибавить к ним какое-либо постоянное число k, средняя увеличится или уменьшится на k единиц:

4.  Если индивидуальные значения признака увеличить или уменьшить в k раз, средняя увеличится или уменьшится в k раз:

*k

5.  Средняя суммы (разности) двух или нескольких величин равна сумме (разности) их средних:

4.  Структурные средние.

Помимо средних величин, в статистическом анализе используются и структурные средние: мода и медиана.

Мода - это значение признака, которое чаще всего встречается в ряде распределения.

В дискретных рядах модой является значение признака в той группе, у которой наблюдается наибольшая частота. Определить моду в этом случае можно визуально.

В интервальных рядах распределения мода также находится в той группе, у которой наибольшая частота. Но так как в интервальных рядах признак может принимать любое значение в заданном интервале, точное значение моды следует определять по специальной формуле:

где хмо - нижняя граница модального интервала;

iмо - величина модального интервала;

fмо - частота модального интервала;

f(мо-1) - частота интервала, предшествующего модальному;

f(мо+1) - частота интервала, следующего за модальным.

Модальным является интервал, имеющий наибольшую частоту

Значение моды, рассчитанное по формуле, не может быть меньшим, чем нижняя граница модального интервала, и не будет превышать верхнюю границу модального интервала.

Медиана - это значение признака, стоящего в центре ранжированного ряда распределения.

В дискретном ряде распределения медиана равна значению признака в той группе, у которой сумма накопленных частот равна или превышает половину суммы всех частот ряда распределения.

Сумма накопленных частот находится последовательным сложением частот каждой группы. Так, для первой группы сумма накопленных частот будет равна частоте этой группы, для второй группы - сумме частот первой и второй группы, для третьей группы - сумме частот первой, второй и третьей группы и т. д. накопленная частота последней группы будет равна общей сумме частот ряда распределения.

В интервальном ряде распределения медиана находится по специальной формуле:

где хме - нижняя граница медианного интервала;

iме - величина медианного интервала;

fме - частота медианного интервала;

Σf - сумма всех частот ряда распределения;

Sме-1 - сумма частот, накопленных до медианного интервала.

Медианным считается интервал, сумма накопленных частот которого равна или превышает половину всех частот ряда распределения

Значение медианы будет не меньше, чем значение нижней границы медианного интервала, и не превысит значения верхней границы медианного интервала.

По соотношению моды, медианы и средней можно судить о характере распределения признака. Распределение может быть симметричным. В этом случае наблюдается равенство между модой, медианой и средним значением признака (рис. 5.1).

В реальной жизни симметричное распределение встречается нечасто, поэтому чаще следует определять характер асимметрии. Если между модой, медианой и средней выполняется соотношение - Мо < Ме < - то мы имеем дело с правосторонней асимметрией.

При наличии левосторонней асимметрии мода, медиана и средняя связаны следующим образом:

Мо > Ме > .

Определить наличие асимметрии можно и с помощью относительного показателя - коэффициента асимметрии. Он может быть рассчитан в двух вариантах - на основе моды или медианы.

,

.

Если As > 0, имеется правосторонняя асимметрия, если As < 0 - левосторонняя.

5.  Показатели вариации.

Показатели вариации характеризуют степень отклонения реальных значений признака от среднего значения и друг от друга. Они делятся на три группы: абсолютные, средние и показатели относительного рассеивания.

К абсолютным показателям вариации относится размах вариации, который характеризует отклонение крайних значений признака.

где xmax, xmin - максимальное и минимальное значение признака в изучаемой совокупности.

К средним показателям вариации относятся среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение и дисперсия. Эти показатели существуют в двух формах: простой и взвешенной.

Простая форма применяется для несгруппированных данных, взвешенная - если данные сгруппированы. Форма расчета средних показателей вариации совпадает с формой расчета средней величины.

Среднее линейное отклонение показывает, на сколько единиц в среднем индивидуальные значения признака отклоняются от его среднего значения.

,

.

Среднее квадратическое отклонение, как и среднее линейное отклонение, показывает, на сколько единиц в среднем индивидуальные значения признака отклоняются от средней, но сумма отклонений возводится в квадрат.

,

Дисперсия представляет собой сумму квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней. Данный показатель не имеет единиц измерения.

Можно рассчитать дисперсию по методу моментов. В этом случае расчет производится по формуле:

Показатели относительного рассеивания являются мерой вариации признака и позволяют сопоставлять степень вариации у различных совокупностей. Данные показатели находятся как отношение абсолютных или средних показателей вариации к среднему значению признака.

Коэффициент осцилляции рассчитывается как отношение размаха вариации к среднему значению признака (в процентах):

Относительное линейное отклонение находится как частное от деления среднего линейного отклонения на среднее значение признака ( в процентах):

Коэффициент вариации является мерой типичности средней и находится по формуле:

Если значение коэффициента вариации не превышает 33%, средняя считается типичной для совокупности и ее можно применять в экономических расчетах.