УДК 517.91
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПЕРЕХОДНЫХ РЕЖИМОВ
ТРАНСФОРМАТОРА ТОКА
Устинова Л. Г., канд. пед. наук
ГОУ ВПО «Московский энергетический институт»
(технический университет) в г. Волжском
Построение и исследование математических моделей важно практически во всех отраслях знаний, но вместе с тем сопряжено с необходимостью использования многих разделов математики, в том числе теории дифференциальных уравнений.
Теория дифференциальных уравнений является одним из самых больших разделов современной математики. Главная особенность теории дифференциальных уравнений – это непосредственная связь с приложениями. Характеризуя математику как метод проникновения в тайны природы, можно сказать, что основным путем применения этого метода является формирование и изучение математических моделей реального мира. Изучая какое-либо физическое явления, исследователь создает его математическую модель, то есть записывает основные законы, управляющие этим явлением в математической форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде дифференциальных уравнений.
Математическая модель дает возможность изучать явление в целом, предсказывать его развитие, делать количественные оценки изменений, происходящих в нем с течением времени.
Так например, на сегодняшний день у большинства потребителей сложилась достаточно сложная обстановка с учетом электроэнергии. Недостоверность учета связана в первую очередь с несоответствием параметров измерительных цепей учета новым нормативным документам. Структура и оснащение измерительных комплексов, сложившиеся в предыдущий исторический период, в настоящее время действуют у большинства потребителей в нашем регионе без существенных изменений. Нынешнее состояние средств учета электроэнергии, их неправильный выбор и применение, а также некорректное применение метрологических правил и норм в большинстве случаев обуславливает недоучет электроэнергии.
Экспертная оценка показывает, что в наихудшем случае недоучет электроэнергии может достигать минус 10-20% при его среднем значении минус 4-7%. По оценкам Госстандарта и Госэнергонадзора РФ среднее значение погрешности измерений отпускаемой электроэнергии составляет минус 13%. Основной причиной недоучета электроэнергии является преобладающее влияние систематических погрешностей средств учета, входящих в состав измерительных комплексов, в том числе измерительных каналов действующих автоматизированных систем коммерческого учета электроэнергии (трансформатора тока, трансформатора напряжения, электросчетчики). Поэтому важной практической задачей является вычисление погрешности трансформатора тока в переходных режимах.
Переходным режимом работы трансформатора тока (ТТ) называют электромагнитный процесс, возникающий при переходе от одного режима к другому вследствие резкого изменения параметров первичного тока или нагрузки ТТ (например короткого замыкания в первичной цепи). При переходном режиме в первичной и первичной обмотках ТТ проходят свободные затухающие составляющие токов.
Для определения токовой и угловой измерительных погрешностей трансформатора тока необходимо исследовать математическую модель ТТ. Целью моделирования трансформатора тока является получение достаточно точной аналитической модели, которая отражает влияние всех параметров первичной и вторичной цепи на его систематическую погрешность.
Основываясь на принципе действия трансформатора тока, само устройство ТТ заменим следующей схемой замещения трансформатора тока (рис. 1).
Рис. 1
Для первичной цепи трансформатора тока переходной процесс будет протекать по следующему закону
, (1)
где 
– амплитуда первичного периодического тока, зависящая от условий короткого замыкания; 
– фаза этого тока в начальный момент переходного процесса при 
; 
– начальное значение апериодической составляющей тока; 
– постоянная времени затухания апериодической составляющей.
Построим модель переходного процесса в трансформаторе тока при следующих допущениях:
1) трансформатор тока имеет постоянную нагрузку;
2) характеристика намагничивания трансформатора носит характер линейной зависимости.
Считаем активную составляющую ветви намагничивания пренебрежимо малой, а индуктивности 
, 
и сопротивление 
величинами постоянными.
В этом случае переходной процесс описывается следующим дифференциальным уравнением:
. (2)
Поскольку погрешность трансформатора тока практически полностью зависит от значения тока намагничивания 
, то он является искомой величиной. Учитывая, что 
, получим следующее линейное дифференциальное уравнение:
.
Введем обозначения 
, 
и получим равенство:
(3)
Подставим выражение (1) в уравнение (3):
. (4)
Получили линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка, которое решаем методом Лагранжа.
Мгновенное значение тока намагничивания, таким образом, равно
, (5)
где значение постоянной C находится из заданных начальных условий.
В структуру тока намагничивания включаются составляющие: вынужденная периодическая синусоидальная составляющая переходного тока намагничивания; свободная апериодическая составляющая, которая в начальный момент переходного процесса компенсирует разность периодической составляющей и начального тока намагничивания; вынужденная апериодическая составляющая тока намагничивания, т. е. некоторая часть первичного апериодического тока, и свободная апериодическая составляющая, которая компенсирует третий член при 
.
Обе свободные составляющие замыкаются в контуре, образованном ветвями вторичного тока и намагничивания ТТ, и затухают с постоянной времени 
.
Все три апериодические составляющие в сумме дают результирующую апериодическую составляющую.
Что же касается периодической составляющей тока намагничивания 
, то при индуктивной нагрузке 
она совпадает по знаку с установившемся периодическим током, а при активной 
отстает от него на угол, меньший 
.
При проектировании ТТ в большинстве случаев достаточно обеспечивать не выше допустимых погрешности трансформации вынужденной периодической составляющей первичного тока. Эти погрешности целесообразно определять для заданного момента времени 
:
токовую погрешность (в процентах)
, (6)
полную погрешность (в процентах)
, (7)
угловую погрешность, равную углу между первыми гармониками токов 
и 
. (8)
В данных формулах 
– номинальный коэффициент трансформации, и – комплексные первичный и вторичный токи за период T , 
.
Исходя из формул (5) – (8) можно сказать о том, что погрешности в переходных режимах носят существенно случайный характер, зависящий от многих факторов (например, момента тока КЗ, амплитуды периодической и апериодической составляющих тока КЗ). Наиболее приемлемые оценки погрешности трансформатора тока можно получить экспериментальным путем.
Литература
1. Афанасьев, тока. – Л.: Энергоатомиздат, 1989. – 416 с.
2. РД 153-34.0-35.301-2002. Инструкция по проверке трансформаторов тока, используемых для защиты и измерения. – М.: СПО ОРГРЭС, 2003 – 151 с.
3. Матвеев, интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Высшая школа, 1967. – 564 с.
