Вычеты

§ 8. ВЫЧЕТЫ

Если z0— изолированная особая точка однозначной аналитической в области D функции f(z), то в окрестности этой точки функцию f(z) можно представить рядом Лорана:

,

где

g— любой замкнутый контур, лежащий в области D аналитичности функции f(z) и охватывающий точку z0, но не содержащий внутри других особых точек этой функции.

Вычетом аналитической функции f(z) в изолированной особой точке z0 называется коэффициент c-1 указанного ряда Лорана, стоящий при (z — z0)-1 т. e. значение интеграла,

,

вычисленного в положительном направлении по замкнутому контуру g.

Положительное направление – когда область ограниченная контуром при обходе расположена слева: для z0 Î С - обход против часовой стрелки, для z0 = ¥ - по часовой стрелке.

Обозначается вычет функции f(z) в изолированной особой точке z0 одним из двух символов: Выч [f(z); z0] или Res [f(z); z0]. Далее мы будем пользоваться первым из этих обозначений.

Непосредственно из определения следует, что в правильной точке и в устранимой особой точке вычет функции равен нулю.

Если особая точка — полюс, то вычисление вычета просто. Возможны два случая:

1) z0 — полюс первого порядка аналитической функции. Тогда ряд Лорана для функции в окрестности точки z0 имеет вид

Откуда

И поэтому

Этому результату можно придать другую форму. Действительно, в случае полюса первого порядка в точке z0 функция f(z) в окрестности этой точки может быть представлена как отношение двух функций: , где j(z0)¹0, а y (z) имеет в точке z0 нуль первого порядка: y (z0)=0, y¢(z0)¹0.

Так как для функции y (z) ряд Тейлора в окрестности точки z0 имеет вид

то

Поэтому.

Пример. Найти вычеты функции в ее особых точках.

Решение. Корни знаменателя где

.

Поэтому ,

2) z0 — полюс порядка m функции f(z).

В этом случае ряд Лорана для функции f(z) в окрестности точки z0 имеет вид

откуда

Дифференцируя обе части этого равенства m - 1 раз по переменной z, получим

Пример. Найти вычеты функции в ее особых точках.

Решение. Особыми точками функции являются z0 =-2 полюс третьего порядка, z1 =1 — полюс второго порядка. Следовательно

Основная теорема о вычетах. Если функция f(z) однозначна и аналитична в замкнутой области D всюду, за исключением конечного числа изолированных особых точек zk (k = 1, 2, 3, ..., n), лежащих внутри области D, то

где Г+ — полная граница области D, проходимая в положительном направлении.

Определение. Вычетом аналитической функции f(z) в бесконечно удаленной изолированной особой точке называется коэффициент ряда Лорана в окрестности этой точки при z-1, взятый с противоположным знаком, т. е.

где g — окружность с центром в начале координат и достаточно большого радиуса R (такого, что при | z | > R нет других особых точек функции f(z), кроме бесконечно удаленной точки), а интегрирование ведется при отрицательном обходе, так как только при таком обходе (по ходу часовой стрелки), окрестность бесконечно удаленной точки всегда остается слева.

Приведенное определение и правило вычисления вычета в бесконечно удаленной изолированной особой точке позволяют сформулировать следующую теорему.

Теорема. Если функция f(z) аналитична на полной комплексной плоскости всюду, кроме конечного числа n изолированных особых точек, среди которых есть бесконечно удаленная точка, то сумма всех вычетов этой функции в изолированных особых точках равна нулю.

Эта теорема часто используется для упрощения вычисления интеграла от функции комплексной переменной по замкнутому контуру.

Логарифмический вычет.

Пусть однозначная функция f(z) аналитична всюду в области D, за исключением конечного числа р изолированных особых точек zk (k = 1, 2, 3, ..., р), причем все особые точки zk являются полюсами. Пусть, кроме того, функция f(z) в области D имеет конечное число n нулей; zk (k = 1, 2, 3,..., n), а на границе Г области D нет ни нулей, ни особых точек функции.

Полным числом N нулей (полным числом Р полюсов) функции f(z), расположенных в области D, называется количество всех ее нулей (полюсов) в этой области при условии, что каждый нуль (полюс) считается столько раз, каков его порядок.

Функция называется логарифмической производной функции f(z), а вычеты функции j (z) в ее особых точках zm (m = 1, 2, 3, ..., М) — логарифмическими вычетами функции f(z).

Особыми точками функции j (z) являются нули и полюсы функции f(z). Если точка является нулем порядка (кратности) nk функции f(z), то в окрестности этой точки

Поэтому

и точка будет полюсом первого порядка для функции j (z).

Следовательно, Выч[j (z); ] = nk, т. е. логарифмический вычет функции f(z) относительно ее нуля равен порядку (кратности) этого нуля.

Если zk — полюс порядка (кратности) pk функции f(z), то для функции F(z) =1/ f(z) точка zk будет нулем того же порядка pk, и так как ln f(z) = — ln F(z), то

Это означает, что , т. е. логарифмический вычет функции f(z) относительно ее полюса равен порядку (кратности) этого полюса, взятому со знаком минус.

Полученные результаты позволяют записать формулы для определения полного числа N нулей и полного числа Р полюсов функции f(z) в виде:

В соответствии с основной теоремой о вычетах теперь, получаем

т. е. выражение называют логарифмическим вычетом функции f(z) относительно контура Г.

Теорема. Если f(z) — однозначная функция, аналитическая в области D всюду, кроме конечного числа изолированных особых точек, причем все эти точки являются полюсами, а на границе Г области D эта функция не имеет ни нулей, ни особых точек, то

логарифмический вычет функции f(z) относительно замкнутого контура Г равен разности между полным числом нулей и полным числом полюсов, расположенных внутри этого контура.

В соответствии с определением функции комплексной переменной w = w (z) всегда справедливо следующее утверждение:

Если независимая комплексная переменная z получает некоторое приращение Dz, а точка z комплексной плоскости Z обходит какой-то контур Г, то и функция w = w(z) получает некоторое приращение Dw = w (z + Dz) — w (z), а точка w комплексной плоскости W обходит какой-то соответствующий контур G. При этом аргумент комплексной функции w=w(z) также получает некоторое свое приращение.

Этот факт позволяет найти логарифмический вычет функции (число N — P).

Действительно, если для функции f (z) в области D, ограниченной замкнутым контуром Г, выполнены все условия, наложенные теоремой о логарифмическом вычете, то

Так как ln | f (x) | — однозначная функция, то ее приращение при полном обходе точкой x замкнутого контура Г равно нулю, т. е. . Поэтому

где — полное приращение аргумента комплексной функции w =f(z) при обходе точкой z замкнутого контура Г в положительном направлении.

Таким образом, число равно числу оборотов, совершаемых точкой w вокруг точки 0. Этот вывод часто позволяет упростить нахождение числа нулей аналитической функции внутри заданной области.

Существенную роль при этом играет следующая теорема.

Теорема Руше. Если на границе Г области D имеет место неравенство |f (z)|Г > |j(z)|Г причем функции f (z) и j(z) аналитичны в замкнутой области D, то в области D полное число нулей функции F (z) = f (z) + j(z) равно полному числу нулей функции f(z).

С помощью теоремы Руше можно сравнительно просто доказать основную теорему алгебры, утверждающую, что всякая целая функция (многочлен) имеет по крайней мере один нуль.

В электротехнике вычеты функции используются при синтезе электрических цепей, когда решают задачи нахождения структуры схемы и определения параметров входящих в нее элементов по заданным частотным или временным свойствам этой схемы цепи.