Идеальный газ. Распределение в классической статистике

Идеальный газ. Распределение в классической статистике.

1. Найти плотность газа в цилиндре с радиусом и длиной , вращающемся вокруг оси с угловой скоростью (всего в цилиндре молекул).

Идеальный газ. Уравнение состояния идеального газа.

2. Найти работу, производимую над идеальным газом при изотермическом изменении объема от (или давлении от ).

3. Два одинаковых идеальных газа с одинаковыми температурами и числами частиц но с разными давлениями находятся в двух сосудах. Затем сосуды соединяются; определить изменение энтропии.

4. Найти энергию идеального газа находящегося в цилиндрическом сосуде (радиуса и длины ), вращающемся вокруг своей оси с угловой скоростью .

Идеальный газ с постоянной теплоемкостью.

5. Два одинаковых идеальных газа с одинаковыми давлениями и числом частиц но с разными температурами и находятся в сосудах с объемами и Затем сосуды соединяются. Найти изменение энтропии.

6. Найти работу, производимую над идеальным газом при адиабатическом сжатии.

7. Найти количество тепла, получаемого газом при процессе, происходящем при постоянном объеме (изохорном).

8. Найти работу и количества тепла при процессе, происходящем при постоянном давлении (изобарном).

9. Найти работу, совершаемую над газом и количество тепла, получаемое им при сжатии от объема до объема согласно уравнению (политропический процесс).

10. Найти работу, производимую над идеальным газом, и количество тепла, получаемое им, когда газ совершает круговой процесс (т. е. после процесса возвращается в исходное состояние), состоящий из двух изохорных и двух изобарных процессов: газ переходит из состояния с давлением и объемом в состояние с далее в состояние с далее с и, наконец, опять с

 

11. Найти работу, производимую над идеальным газом, и количество тепла, получаемое им, когда газ совершает круговой процесс (т. е. после процесса возвращается в исходное состояние), состоящий из двух изохорных и двух изотермических процессов (последовательные состояния газа имеют объем и температуру: 1) 2) 3) 4) 5)).

 

 

12. Найти работу, производимую над идеальным газом, и количество тепла, получаемое им, для цикла из двух изотермических и двух адиабатических процессов (последовательные состояния имеют энтропию, температуру и давление: 1) 2) 3) 4) 5)).

 

13. Найти работу, производимую над идеальным газом, и количество тепла, получаемое им, для цикла из двух изобарных и двух изотермических процессов (последовательные состояния: 1) 2) 3) 4) 5)).

 

14. Найти работу, производимую над идеальным газом, и количество тепла, получаемое им, для цикла из двух изобарных и двух адиабатических процессов (последовательные состояния газа: 1) 2) 3) 4) 5)).

 

15. Найти работу, производимую над идеальным газом, и количество тепла, получаемое им, для цикла из двух изохорных и двух адиабатических процессов (последовательные состояния: 1) 2) 3) 4) 5)).

16. Определить максимальную работу, которую можно получить при соединении сосудов с двумя одинаковыми идеальными газами, имеющими одинаковые температуру и число частиц но разные объемы и .

17. Определить максимальную работу, которую можно получить при соединении сосудов с двумя одинаковыми идеальными газами, если до соединения сосудов газы имели одинаковое давление и разные температуры и

18. Найти минимальную работу, которую надо произвести над идеальным газом для того, чтобы сжать его от давления до давления при постоянной температуре, равной температуре среды .

19. Определить максимальную работу, которую можно получить с помощью идеального газа при охлаждении от температуры до температуры среды при постоянном объеме. .

20. Определить максимальную работу, которую можно получить с помощью газа, охлаждающегося от температуры до температуры среды и в то же время расширяющегося так, что его давление меняется от до давления среды .

21. Из большого теплоизолированного резервуара газ с температурой вытекает в пустой теплоизолированный сосуд, причем давление газа в резервуаре поддерживается постоянным. Найти изменение температуры газа в этом процессе.

.

Неидеальные газы. Формула ван-дер-Ваальса.

22. Найти для неидеального газа, описываемого формулой вaн-дер-Ваальса.

23. Найти уравнение адиабатического процесса для ван-дер-ваальсовского газа с постоянной теплоемкостью .

24. Найти изменение температуры при расширении в пустоту от объема до объема для ван-дер-ваальсовского газа с постоянной теплоемкостью

25. Для ван-дер-ваальсовского газа найти зависимость точки инверсии процесса Джоуля-Томсона от температуры.

Равновесие фаз. Условия равновесия фаз.

26. Определить температурную зависимость давления насыщенного пара над твердым телом (пар рассматривать как идеальный газ; как газ, так и твердое тело обладают постоянными теплоемкостями).

27 Определить скорость испарения конденсированного тела в пустоту.

Равновесие фаз. Формула Клапейрона-Клаузиуса.

28. Определить теплоемкость пара вдоль кривой равновесия жидкости и ее насыщенного пара (т. е. теплоемкость для процесса, при котором жидкость все время находится в равновесии со своим насыщенным паром). Пар считается идеальным газом.

29. Определить изменение объема пара с температурой для процесса, при котором пар все время находится в равновесии с жидкостью (т. е. вдоль кривой равновесия жидкости и ее пара).

Растворы. Равновесие по отношению к растворенному веществу.

30. Найти изменение концентрации с высотой для раствора, находящегося в поле тяжести.

31. Найти связь между изменениями растворимостей двух веществ при их одновременном растворении в одном растворителе. (Растворимость – концентрация насыщенного раствора. Предполагается, что эта концентрация все еще настолько мала, что применимы формулы теории слабых растворов).

32. Найти связь между изменениями давления насыщенных паров двух растворимых веществ в присутствии друг друга.

Растворы. Выделение тепла и изменение объема.

33. Найти максимальную работу, которая может быть произведена при образовании насыщенного раствора.

34. Найти минимальную работу, которую нужно произвести для того, чтобы, выделив из раствора с концентрацией часть растворителя, довести его концентрацию до .

Поверхности. Образование зародышей при фазовых переходах.

35.Определить вероятность образования зародыша жидкости на твердой поверхности при известном (отличном от нуля) значении краевого угла

36. Найти для образования зародыша произвольного размера.

Принцип статистической механики.

37. Показать, что если плотность газа, состоящего из частиц с массой достаточно низка, а температура достаточно высока, так что средняя длина волны де Бройля много меньше среднего расстояния между частицами, то можно пользоваться статистикой Больцмана с хорошей степенью точности вне зависимости от того, какой статистике подчиняются частицы, Ферми или Бозе.

38. Пусть вероятность того, что система находится в состоянии с энергией Показать, что если энтропия выражается формулой

то те значения при которых имеет максимальное значение при условии, что средняя энергия системы равна подчиняются каноническому распределению.

39. Показать, что для идеального газа вне зависимости от статистики справедливо соотношение

где его полная кинетическая энергия. (Указание. Воспользоваться или соотношением

(1)

или соотношением ).

40. Пусть пространственное распределение частиц с зарядом определяется плотностью числа частиц Если внешнее поле характеризуется потенциалом то полная потенциальная энергия равна

Предполагая, что энтропия системы определяется выражением

найти уравнения, которым удовлетворяют плотность и статистический потенциал в равновесном состоянии.

Статистическая механика. Метод канонического распределения.

41. Идеальный газ, состоящий из частиц массой (подчиняющийся классической статистике), заключен в бесконечно высокий цилиндр, помещенный в однородное гравитационное поле, и находится в состоянии теплового равновесия. Вычислить классическую статистическую сумму, свободную энергию Гельмгольца, среднюю энергию и теплоемкость системы.

42. Вывести формулу Планка для теплового излучения в диспергирующей среде, в которой показатель преломления зависит от частоты излучения

. Флуктуации и кинетическая теория.

43. Пусть дана подсистема с некоторой массой (с определенным числом молекул), принадлежащая большой однородной системе.

а). Показать, что вероятность обнаружить отклонение величины от ее равновесного значения можно представить в виде

где температура в равновесном состоянии. При этом предполагается, что отклонение не слишком велико и что распределение вероятностей можно считать гауссовым.

Указание. Воспользоваться соотношением, определяющим минимальную работу

и применить его к процессу, в котором изменения и заданы, а и представляют собой равновесные температуру и давление. Затем разложить до членов второго порядка по и

Задача 2. Найти средний квадрат флуктуаций энергии (переменные T и V).

Задача 3. Найти средний квадрат флуктуаций энтальпии (переменные S и P).

Задача 4. Найти средний квадрат флуктуаций температуры

Задача 5. Найти средний квадрат флуктуаций объема

Задача 6. Найти средний квадрат флуктуаций давления

Задача 7. Найти средний квадрат флуктуаций энтропии

Задача 8. Найти средний квадрат флуктуаций скорости небольшой части системы относительно всей остальной среды.

Задача 9. Найти

Задача 10. Найти

Задача 11. Найти

Задача 2. Найти

Второй закон термодинамики.

44. Показать, что для адиабатического изменения абсолютной температуры магнетика, подчиняющегося закону Кюри ( намагниченность,, константа), справедливо соотношение.

где теплоемкость на единицу объема при постоянном магнитном поле.

45. Доказать, что к. п.д. тепловой машины не может превышать где максимальная температура тепловых резервуаров, от которых тепловая машина получает тепло, а минимальная температура резервуаров, которым она передает тепло.

46. Доказать приводимые ниже выражения для к. п.д. следующих трех циклов (рабочим веществом является идеальный газ):

а) цикл Отто

 

 

б) цикл Джоуля

 

в) цикл Дизеля

При этом считать, что и константы.

 

47. Вывести выражение для энтропии идеального газа для случая, когда удельная теплоемкость при постоянном объеме

48. Идеальный газ адиабатически расширяется из объема в вакуум. Вычислить возрастание энтропии, если в конечном состоянии газ имеет объем , и показать, что процесс расширения является необратимым. Стр. 99, решение стр.110.

49. а) Доказать, что отношение адиабатической сжимаемости к изотермической сжимаемости равно отношению теплоемкости при постоянном объеме к теплоемкости при постоянном давлении.

б) Доказать, что отношение адиабатической магнитной восприимчивости к изотермической магнитной восприимчивости равно отношению теплоемкости при постоянной намагниченности к теплоемкости при постоянном магнитном поле.

50. Доказать следующие соотношения:

а)

где

;

б) .

51. Теплота плавления льда при 1 атм и равна кал/моль, а теплота испарения при 1 атм и кал/моль. Считая, что средняя теплоемкость воды при 1 атм между и кал/градмоль, вычислить разность между энтропией 1 моль льда при 1 атм и и энтропией 1 моль пара при 1 атм и

52. Пусть для некоторого твердого тела экспериментально найдено, что при температуре в интервале давлений имеет место следующая зависимость:

Насколько возрастет энтропия при сжатии тела от давления до при постоянной температуре .

53. В эксперименте Джоуля-Томсона газ, заключенный в трубку с адиабатическими стенками, протекает при стационарных условиях через пористую перегородку из области с высоким давлением в область низкого давления, причем давления по обе стороны пористой перегородки поддерживаются постоянными. В результате этого температуры по обе стороны перегородки различны. Доказать, что в этом эксперименте энтальпия остается постоянной, и выразить через и величину определяющую изменение температуры (коэффициент Джоуля-Томсона). Кроме того, для тех случаев, когда в достаточно хорошем приближении уравнение состояния можно записать в виде выразить коэффициент Джоуля-Томсона через .

54. Гей-Люссак произвел измерения изменения температуры газа, испытывающего свободное расширение в вакуум. Записать уравнение, определяющее изменение температуры при свободном расширении газа от объема до .

55. Магнитная восприимчивость парамагнитного вещества подчиняется закону Кюри ( константа), а внутренняя энергия определяется выражением ( положительная константа).

а). Найти теплоту намагничивания, когда поле возрастает от до а температура сохраняет постоянное значение

б) Как меняется температура при адиабатическом размагничивании, т. е. при адиабатическом уменьшении поля от до .

 

56. Доказать, что у газа ван-дер-Ваальса теплоемкость при постоянном объеме зависит только от температуры, и найти выражение для внутренней энергии и энтропии.

57. Пусть газ подчиняется уравнению состояния ван-дер-Ваальса а его молярная теплоемкость при постоянном объеме постоянна и не зависит от температуры. Показать, что внутренняя энергия (на 1 моль) такого газа определяется выражением

и что при адиабатическом квазистатическом изменении выполняется соотношение

или

где Кроме того, найти изменение температуры этого газа при его свободном расширении в вакуум.

58. Вычислить коэффициент Джоуля-Томсона для разреженного газа ван-дер-Ваальса с точностью до второго порядка по и Кроме того, определить температуру при которой коэффициент Джоуля-Томсона обращается в нуль, и выразить ее через критическую температуру

59. Доказать, что количество тепла полученное системой, не обменивающейся веществом с окружающей средой, в случае изотермического процесса при постоянном объеме связано с минимальной работой соотношением

а).

а в случае изотермического процесса при постоянном давлении соотношением

б)

(Эти уравнения называются уравнениями Гиббса-Гельмгольца или уравнениями Кельвина. Они используются для определения по измеряемой величине ). .

Понятие об идеальной цепи. Простые случайные блуждания.

60. Найти среднее расстояние между концами длинной полимерной цепи, состоящей из мономеров длиной