УДК 517.9

ОЦЕНКА РАЗМЕРОВ ОБЛАСТИ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ ПАССИВНО ГРАВИТИРУЮЩЕГО ОБЪЕКТА В ОКРЕСТНОСТИ ТРЕУГОЛЬНОЙ ТОЧКИ ЛИБРАЦИИ СИСТЕМЫ ДВУХ ТЕЛ

Кафедра дифференциальных уравнений

Кемеровский государственный университет

vbor@kuzbass.net

Рассматривается система двух тел S, J, связанных ньютоновским притяжением, и вращающихся в плоскости ξ1,ξ2 вокруг барицентра, расположенного в начале координат. Как известно [1], треугольная точка либрации L5 этой системы представляет из себя точку равновесия, расположенную в вершине равностороннего треугольника, основанием которого является отрезок, соединяющий центры масс тел S, J. При надлежащем соотношении масс, точка либрации L5 является устойчивой [1], то есть, третье тело несравнимо меньшей массы (пассивно гравитирующее тело), попавшее в некоторую окрестность точки L5, остается в ее окрестности бесконечно долго. Целью настоящей работы является численное моделирование движения объектов в ограниченной задаче трех тел и оценка размеров области устойчивости траектории пассивно гравитирующего тела в окрестности точки L5.

Для численного моделирования выбираются соотношения масс тел S, J и параметры их траекторий, соответствующие системе Земля-Луна. Численное решение проводится в программе Diff4 [2] методом Гира в режиме внутренней аппроксимации матрицы Якоби. Глобальная погрешность решения оценивается с помощью классических первых интегралов системы трех тел [3], в соответствии с изложенным в [4].

Строятся решения ограниченной задачи трех тел с различными возмущениями начальных условий для пассивно гравитирующего тела, и оценивается величина возмущения, являющаяся критической для того, чтобы тело всегда оставалось в окрестности точки либрации. Для эксперимента выбирались следующие типы возмущений начальных условий пассивно гравитирующего тела относительно точки либрации:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

·  сдвиг начального положения тела вдоль траектории движения точки либрации (вперед и назад по траектории);

·  радиальное смещение начального положения тела (в направлениях к барицентру и от барицентра);

·  смещение начального положения тела в направлении, ортогональном плоскости ξ1,ξ2;

·  задание ненулевого начального вектора скорости движения тела относительно точки либрации;

·  различные комбинации указанных выше возмущений.

Система интегрировалась как на небольших интервалах безразмерного времени (несколько оборотов тел), для установления факта неустойчивости возмущенного движения, так и на больших интервалах времени. Большие интервалы времени использовались в случае устойчивого движения тела относительно точки либрации, для оценки максимального удаления траектории от точки либрации.

На рис.1 изображена траектория относительного движения пассивно гравитирующего тела в окрестности точки либрации в докритическом случае, когда его начальное положение выбирается на траектории точки L5 с опережением ее на величину 0.2 радиана. Численные расчеты показывают, что на больших интервалах времени (тысячи оборотов) максимальная величина отклонения тела от точки либрации в этом случае не превосходит 2,5-кратной величины начального отклонения.

Литература

1.  Маркеев либрации в небесной механике и космодинамике / - – М.: Мир, 1986, 312 с.

2.  , Ганеев Diff4 для численного и качественного анализа решений обыкновенных дифференциальных уравнений. - Материалы V Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Образование, Наука, Инновации – вклад молодых исследователей», Кемерово, 2010.

3.  екции по небесной механике / К. Зигель, Ю. Мозер - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, 384 с.

4.  , Душин эффективности алгоритмов численного решения задачи трех тел. - Материалы IX Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Информационные технологии и математическое моделирование" (ИТММ-2010), г. Анжеро-Судженск 19-20 ноября 2010.

Научный руководитель – канд. физ.-мат. наук, доцент