Лабораторная работа Системы счисления

Лабораторная работа

Системы счисления

1.  Правило счета.

Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью правила счета: Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т. д. Продвижение старшей цифры (например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры – 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 – замену её на 0.

Пример 1. Применяя правило счета, запишем первые десять целых чисел:

·  в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;

·  в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;

·  в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;

·  в восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.

2.  Алгоритмы перевода чисел из одной позиционной системы исчисление в другую.

Чтобы перевести целое десятичное число в двоичную (восьмеричную, шестнадцатеричную) систему счисления, нужно последовательно делить с остатком это число, а затем получаемые частные на основание новой системы счисления до тех пор, пока частное не станет меньше основания. При переводе запись двоичного (восьмеричного, шестнадцатеричного) числа следует начинать со старшего значащего разряда, а заканчивать записью младшего значащего разряда (см. пример 2).

Для перевода правильной дроби из десятичной системы счисления в двоичную (восьмеричную, шестнадцатеричную) нужно умножить исходную дробь и дробные части получающихся произведений на основание, представленное в десятичной системе. Целые части получающихся произведений дают последовательность цифр, которая является представлением дроби в двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системе счисления (см. пример 3).

Для чисел, имеющих как целую, так и дробную части, перевод из десятичной системы счисления в другую осуществляется отдельно для целой и дробной частей по правилам, указанным выше.

Пример 2. Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Пример 3. Переведем число 0,36 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Обратный перевод числа в десятичную систему осуществляется по формуле:

где: – i-я цифра числа; – количество цифр в целой части числа; – количество цифр в дробной части числа; – основание системы счисления.

Пример 4. Выполним перевод числа из двоичной системы счисления в десятичную.

Имеем: .

Чтобы перевести восьмеричное (шестнадцатеричное) число в двоичную систему, нужно заменить каждую цифру восьмеричного (шестнадцатеричного) числа соответствующим трехразрядным (четырехразрядным) двоичным числом. Затем необходимо удалить крайние нули слева, а при наличии точки – и крайние нули справа.

Пример 5.

Чтобы перевести двоичное число в восьмеричную (шестнадцатеричную) систему счисления нужно двигаясь от точки влево, а затем вправо, разбить двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя, при необходимости, нулями крайние левую и правую группы. Затем каждую группу из трех (четырех) разрядов следует заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой (см. таблица 1).

Пример 6.

Таблица 1

Первые 16 натуральных чисел записанных в десятичной,

двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления

10	2	8	16
0	0000	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	10	8
9	1001	11	9
10	1010	12	A
11	1011	13	B
12	1100	14	C
13	1101	15	D
14	1110	16	E
15	1111	17	F

3.  Операция сложения в позиционных системах счисления.

Рассмотрим операцию сложения. Правила выполнения этой операций в десятичной системе хорошо известны – это сложение столбиком. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения надо пользоваться особыми для каждой системы.

Таблицы сложения легко составить, используя правило счета:

1)  Сложение в двоичной системе

2)  Сложение в восьмеричной системе

3)  Сложение в шестнадцатеричной системе

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

Пример 7. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

Шестнадцатеричная: F16+616

Ответ: 15+6 = 2110 = 101012 = 258 = 1516.

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

101012 = 24 + 22 + 20 = 16+4+1=21, 

258 = 2 . 81 + 5 . 80 = 16 + 5 = 21, 

1516 = 1 . 161 + 5 . 160 = 16+5 = 21. 

Задания для самостоятельной работы

Вариант 1

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления: 273,14(10).

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления: а) 1100000000(2); б) 1017,2(8); в) 111,B(16).

3. Сложить числа: а) 1110001000(2)[phone](2); б) 573,04(8)+1577,2(8); в) 108,8(16)+21B,9(16).

4. Перевести числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: a) 1001111110111,01112; б) 1110101011,10111012.

5. Перевести в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа: a) 1F16; б) 9AF916.

Вариант 2

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:  87,27(10).

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления: а) 1100001001(2); б) 112,04(8); в) 334,A(16).

3. Сложить числа: а) 101000011(2)[phone](2); б) 1364,44(8)+1040,2(8); в) 158,A(16)+34,C(16).

4. Перевести числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: a) 111000012; б) 10111001,1011001112.

5. Перевести в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа: a) 2СE16; б) 9F4016.

Вариант 3

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления: 123,72(10).

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления: а) 1101010001(2); б) 1347,17(8); в) 155,6C(16).

3. Сложить числа: а) 1000101101(2)[phone](2); б) 415,24(8)+1345,04(8); в) 113,B(16)+65,8(16).

4. Перевести числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: a) 101101112; б) 1011110011100,112.

5. Перевести в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа: a) A5C16; б) 1010,10116.

Вариант 4

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления: 218,16(10).

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления: а) 111000100(2); б) 1665,3(8); в) FA,7(16).

3. Сложить числа: а) 11100000(2)[phone](2); б) 1041,2(8)+1141,1(8); в) 3C6,8(16)+B7,5(16).

4. Перевести числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: a) 10110112; б) 10111,11111011112.

5. Перевести в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа: a) ABE16; б) 9AF916.

Вариант 5

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:  318,87(10).

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления: а) 1111000111(2); б) 465,3(8); в) 252,38(16).

3. Сложить числа: а) 1000001101(2)[phone](2); б) 520,4(8)+635,4(8); в) 2DB,6(16)+15E,6(16).

4. Перевести числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: a) 1100010101,110012; б) 110100,112.

5. Перевести в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа: a) 9A16; б) 1DE, C816.

Вариант 6

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления: 113,42(10).

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления: а) 110010001(2); б) 704,6(8); в) 367,38(16).

3. Сложить числа: а) 10101100(2)[phone](2); б) 355,2(8)+562,04(8); в) 1E5,18(16)+3BA,78(16).

4. Перевести числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: a) 100111110111,01112; б) 10110112.

5. Перевести в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа: a) 7E16; б) 1DE, C816.

Вариант 7

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления: 97,14(10).

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления: а) 1000110110(2); б) 666,16(8); в) 1C7,68(16).

3. Сложить числа: а) 1101010000(2)[phone](2); б) 242,2(8)+1153,5(8); в) 84,8(16)+27E,8(16).

4. Перевести числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: a) 1011110011100,112; б) 101101112.

5. Перевести в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа: a) 101016; б) ABC16.

Вариант 8

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления:  53,35(10).

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления: а) 101111111(2); б) 140,22(8); в) 1DE,54(16).

3. Сложить числа: а) 1101010000(2)[phone](2); б) 1476,3(8)+1011,1(8); в) 3E0,A(16)+135,8(16).

4. Перевести числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: a) 1100010101,110012; б) 110100,112.

5. Перевести в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа: a) 1F16; б) 1010,10116.

Вариант 9

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления: 113,63(10).

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления: а) 11101000(2); б) 1600,14(8); в) 1E9,4(16).

3. Сложить числа: а) 1000111110(2)[phone](2); б) 620,2(8)+1453,3(8); в) 348,1(16)+234,4(16).

4. Перевести числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: a) 1001111110111,01112; б) 1110101011,10111012.

5. Перевести в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа: a) ABC16; б) 9F4016.

Вариант 10

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления: 82,73(10).

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления: а) 10000011001(2); б) 1053,2(8); в) 200,6(16).

3. Сложить числа: а) 1000111110(2)[phone](2); б) 104,4(8)+1310,62(8); в) 2BD,3(16)+EB, C(16).

4. Перевести числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: a) 10111,11111011112; б) 10110112.

5. Перевести в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа: a) ABCDE16; б) FF16.

Вариант 11

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления: 84,82(10).

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления: а) 110111101(2); б) 1471,17(8); в) 3EC,5(16).

3. Сложить числа: а) 1110100100(2)[phone](2); б) 750,16(8)+1345,34(8); в) 158,4(16)+396,8(16).

4. Перевести числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: a) 10111001,1011001112; б) 110100,112.

5. Перевести в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа: a) 9AF916; б) F416.

Вариант 12

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления: 198,91(10).

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления: а) 1101100000(2); б) 452,63(8); в) 1E7,08(16).

3. Сложить числа: а) 1101100101(2)[phone](2); б) 1672,2(8)+266,2(8); в) 18B, A(16)+2E9,2(16).

4. Перевести числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: a) 1011110011100,112; б) 111000012.

5. Перевести в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа: a) 1A,9D16; б) 101016.

Вариант 13

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления: 218,43(10).

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления: а) 1010100001(2); б) 1034,34(8); в) 72,6(16).

3. Сложить числа: а) 1010110101(2)[phone](2); б) 106,14(8)+322,5(8); в) 156,98(16)+D3,2(16).

4. Перевести числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: a) 10111,11111011112; б) 10110112.

5. Перевести в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа: a) CDEF16; б) 1F16.

Вариант 14

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления: 81,09(10).

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления: а) 10100010(2); б) 605,02(8); в) 3C8,8(16).

3. Сложить числа: а) 1111010100(2)[phone](2); б) 1053,34(8)+1513,2(8); в) 40A, E8(16)+92,7(16).

4. Перевести числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: a) 1100010101,110012; б) 110100,112.

5. Перевести в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа: a) 1DE, C816; б) FF16.

Вариант 15

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления: 88,61(10).

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления: а) 1001101001(2); б) 247,1(8); в) 81,4(16).

3. Сложить числа: а) 1010111011(2)[phone](2); б) 1711,6(8)+1763,34(8); в) 30A,4(16)+89,48(16).

4. Перевести числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: a) 1001111110111,01112; б) 1110101011,10111012.

5. Перевести в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа: a) 1ABC,9D1; б) 1F16.

Вариант 16

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления: 74,15(10).

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления: а) 1110011100(2); б) 1446,62(8); в) 9C, D(16).

3. Сложить числа: а) 11100101(2)[phone](2); б) 1664,1(8)+501,3(8); в) 1F0,6(16)+34,4(16).

4. Перевести числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: a) 101101112; б) 1100010101,110012.

5. Перевести в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа: a) F416; б) ABCDE16.

Вариант 17

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления: 75,27(10).

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления: а) 101011100(2); б) 1762,7(8); в) 1B5,6(16).

3. Сложить числа: а) 1011010111(2)[phone](2); б) 1742,4(8)+456,1(8); в) 29E,3(16)+D8,4(16).

4. Перевести числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: a) 111000012; б) 10111,11111011112.

5. Перевести в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа: a) 2E16; б) 1010,10116.

Вариант 20

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления: 30,43(10).

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления: а) 10010000(2); б) 1164,36(8); в) 1D5,C8(16).

3. Сложить числа: а) 1100010100(2)[phone](2); б) 433,4(8)+1774,2(8); в) F7,4(16)+178,4(16).

4. Перевести числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: a) 1100010101,110012; б) 10110112.

5. Перевести в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа: a) 1ABC,9D16; б) 9F16.

Вариант 21

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления: 62,88(10).

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления: а) 11100011(2); б) 615,72(8); в) 3DA,5(16).

3. Сложить числа: а) 1100101011(2)[phone](2); б) 477,2(8)+647,4(8); в) 372,4(16)+1F0,4(16).

4. Перевести числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: a) 1001111110111,01112; б) 1110101011,10111012.

5. Перевести в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа: a) ABC16; б) 1F16.

Вариант 22

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления: 106,67(10).

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления: а) 110011010(2); б) 1343,66(8); в) 3C3,6(16).

3. Сложить числа: а) 1100101100(2)[phone](2); б) 1213,34(8)+1012,34(8); в) 3FE,58(16)+339,7(16).

4. Перевести числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: a) 10110112; б) 10111001,1011001112.

5. Перевести в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа: a) 101016; б) 1DE, C816.

Вариант 23

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления: 151,44(10).

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления: а) 1001100111(2); б) 171,3(8); в) 3A3,4(16).

3. Сложить числа: а) 1011101111(2)[phone](2); б) 552,24(8)+1443,2(8); в) 1BE,4(16)+29A,38(16).

4. Перевести числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: a) 101101112; б) 10111,11111011112.

5. Перевести в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа: a) FF16; б) CDEF16.

Вариант 24

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления: 159,45(10).

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления: а) 11001111(2); б) 750,51(8); в) 90,8(16).

3. Сложить числа: а) 1110101(2)[phone](2); б) 1377,24(8)+1770,64(8); в) 2FD,4(16)+125,8(16).

4. Перевести числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: a) 10110112; б) 1100010101,110012.

5. Перевести в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа: a) 1F16; б) 9AF916.

Вариант 25

1. Перевести данное число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления: 317,32(10).

2. Перевести данное число в десятичную систему счисления:

а) 11000001(2); б) 1335,2(8); в) 18F,8(16).

3. Сложить числа: а) 1101110(2)[phone](2); б) 162,44(8)+1643,2(8); в) E4,B(16)+2A5,4(16).

4. Перевести числа из двоичной системы в восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные переводы: a) 111000012; б) 1110101011,10111012.

5. Перевести в двоичную и восьмеричную системы шестнадцатеричные числа: a) 2СE16; б) 9F4016.