Ортогональные многочлены и рациональные функции

Ф 27-019

Учреждение образования

Гродненский государственный университет имени Я. Купалы

УТВЕРЖДАЮ Декан факультета математики и информатики ___________________ «___» _______ _____г. Регистрационный № УД - _____/р

с/к Ортогональные многочлены и рациональные функции

(название дисциплины)

Учебная программа для специальности:

( рабочий вариант)

_1-31 03 01-02____ Математика___

(код специальности) (наименование специальности)

_1-31 03 01-02 08 Теория функций

(код специализации) (наименование специализации)

Факультет________математики и информатики

(название факультета)

Кафедра ________________ТФФА и ПМ______

(название кафедры)

Курс (курсы)__3__

Семестр (семестры) _6_

Лекции __50__ Экзамен _______

(количество часов) (семестр)

Практические (семинарские)

занятия _44__ Зачёт ____6_____

(количество часов) (семестр)

Лабораторные

занятия _______ Курсовой проект (работа)___

(количествочасов) (семестр)

Всего аудиторных часов

по дисциплине ___94______

(количество часов)

Всего часов Форма получения

по дисциплине ___128______ высшего образования очная

(количество часов)

Программу составил доктор физ.-мат. наук, профессор

2013г.

Учебная программа (рабочий вариант) составлена на основе

учебной программы №УД-10/МИ-053/баз. Пр№ 2 от 01.01.2001г

(название типовой учебной программы (учебной программы), дата утверждения, регистрационный номер)

Рассмотрена и рекомендована к утверждению в качестве рабочего варианта на заседании кафедры теории функций, функционального анализа и прикладной математики 23 мая 2013 г., протокол N°5 Заведующий кафедрой ________ () Одобрена и рекомендована к утверждению на заседании Методической комиссии по специальности (ям) 24 мая 2013 г., протокол N°__ Председатель _______ () Одобрена и рекомендована к утверждению на заседании Совета факультета математики и информатики 25 мая_2013 г., протокол N°5 Учёный секретарь _______ ()

1.ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Одним из классических методов теории аппроксимации является приближение посредством частичных сумм рядов Фурье по специальным системам ортогональных функций. Специальный курс «Ортогональные многочлены и рациональные функции» предполагает как ознакомление со свойствами ортогональных систем алгебраических полиномов и рациональных функций, так и практические приложения для аппроксимации конкретных функций.

Цель и задачи преподавания дисциплины

Специальный курс «Ортогональные многочлены и рациональные функции» имеет целью формирование представления студентов специализации «Теория функций» о задачах теории приближений непрерывных функций на современной этапе развития науки, о рядах Фурье, как одном из классических методов теории аппроксимации.

Задачи изучения курса:

– сформировать навыки приближения непрерывных функций посредством частичных сумм рядов Фурье;

– закрепить теоретические знания с помощью практического приложения к аппроксимации конкретных функций.

Формы и методы обучения и воспитания

Цели и задачи дисциплины достигаются проведением всех видов учебных занятий, осуществлением эффективного текущего и итогового контроля знаний и навыков студентов, организацией самостоятельной работы студентов.

Рекомендации по организации самостоятельной работы студентов

Для организации самостоятельной работы студентов рекомендуется проведение самостоятельных и контрольных работ, выполнение студентами индивидуальных заданий, тестов, а также подготовка докладов по отдельным темам.

Требования к компетентности (согласно образовательного стандарта специальности)

Студенты должны

знать:

§  основные способы построения ортогональных систем;

§  основные системы классических ортогональным многочленов и рациональных функций;

§  основные свойства таких систем;

уметь:

§  строить ряды Фурье по специальным системам ортогональных функций;

§  интерпретировать полученные теоретические результаты посредством языков программирования.

Требования к компетенциям

академическим:

·  овладеть базовыми научно-теоретическими знаниями о теории ортогональных многочленов;

·  усвоить методы построения рядов Фурье;

·  освоить программирование алгоритмов, реализующих аппроксимацию непрерывных функций;

социально-личностным:

·  укрепить способности к взаимодействию с членами малых групп, объединенных целью коллективного решения научно-практических задач;

профессиональным:

·  владеть техникой реферирования, систематизации научной литературы;

·  уметь применять теоретические знания для решения конкретных аппроксимационных задач.

Дисциплина рассчитана на 50 - лекционных часов 44-практических часов

2. СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА

№ п/п	Наименование раздела, темы дисциплины	Содержание в соответствии с типовой учебной программой (учебной программой)
1.	Наилучшие приближения в гильбертовом пространстве	Определитель Грамма. Ортогонализация линейно-независимой системы. Теорема Тейлора. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля
2.	Общие свойства ортогональных многочленов	Рекуррентная формула. Формула Кристофеля-Дарбу. Свойства корней ортогональных многочленов.
3.	Общие свойства ортогональных многочленов	Дифференциальное уравнение. Формула Родрига. Производящая функция.
4.	Сходимость рядов Фурье	Сходимость рядов Фурье по ортогональным многочленам. Функция и константа Лебега и их оценки
5.	Многочлены Чебышева I рода	Общие свойства. Асимптотические свойства. Экстремальные свойства. Ряды Фурье. Примеры разложений в ряды Чебышева-Фурье.
6.	Многочлены Чебышева II рода	Общие свойства. Асимптотические свойства. Экстремальные свойства. Ряды Фурье. Примеры разложений в ряды Чебышева-Фурье.
7.	Многочлены Лежандра	Формула Родрига. Производящие функции. Дифференциальные уравнения. Интегральные представления и равномерная оценка.
8.	Многочлены Якоби	Ультрасферические многочлены. Формула Родрига. Производящая функция. Дифференциальное уравнение. Ряды Фурье.
9.	Многочлены Чебышева –Эрмита	Формула Родрига. Производящие функции. Дифференциальные уравнения. Интегральные представления и равномерная оценка. Ряды Фурье. Примеры разложений функций
10.	Многочлены Чебышева –Лагерра	Формула Родрига. Производящие функции. Дифференциальные уравнения. Интегральные представления и равномерная оценка. Ряды Фурье. Примеры разложений функций
11.	Ортогональные системы рациональных функций на единичной окружности	Ортогональные системы рациональных функций Уолша – Мальмквиста. Ряды Фурье по данной системе. Признаки их сходимости.
12.	Системы рациональных функций на отрезке	Ортогональные системы рациональных функций Джрбашяна–Китбаляна. Рациональные дроби Чебышева–Маркова. Свойства.
13.	Системы рациональных функций на отрезке	Ортогональные системы рациональных функций P. Borwein и T. Erdelyi. Свойства. Связь с системой –Китбаляна.
14.	Системы рациональных функций на вещественной оси	Ортогональные системы рациональных функций. Рациональные дроби Бернштейна. Свойства.

3. ТРЕБОВАНИЯ К КУРСОВОЙ РАБОТЕ (ПРОЕКТУ)[1]

3.1. Цель курсовой работы (проекта) по дисциплины

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

3.2. Объем задания[2]

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.3. Примерная тематика курсовых работ (проектов)

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА

Номер раздела, темы, занятия	Название раздела, темы, занятия; перечень изучаемых вопросов	Количество аудиторных часов	Материальное обеспечение занятия (наглядные, методические пособия и др.)	Литература	Формы контроля знаний
лекции	практические (семинарские) занятия	лабораторные занятия	управляемая самостоятельная работа студентов
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1.	Ортогональные многочлены (68 ч.)	34	38		2
1.1.	Наилучшие приближения в гильбертовом пространстве 1. Определитель Грамма. 2. Ортогонализация линейно-независимой системы. 3. Теорема Тейлора. 4. Неравенство Бесселя. 5. Равенство Парсеваля	4	4				[1], [2], [7]
1.2.	Общие свойства ортогональных многочленов 1. Рекуррентная формула. 2. Формула Кристофеля-Дарбу. 3. Свойства корней ортогональных многочленов.	4	4				[2], [7]
1.3.	Общие свойства ортогональных многочленов 1. Дифференциальное уравнение. 2. Формула Родрига. 3. Производящая функция.	2	4		2		[1], [3], [7]	Самостоя-тельная работа
1.4.	Сходимость рядов Фурье 1. Сходимость рядов Фурье по ортогональным многочленам. 2. Функция и константа Лебега и их оценки.	2	2				[4], [3], [7]
1.5.	Многочлены Чебышева I рода 1. Общие свойства. 2. Асимптотические свойства. 3. Экстремальные свойства. 4. Ряды Фурье. 5. Примеры разложений в ряды Чебышева-Фурье.	4	4				[1], [3]
1.6.	Многочлены Чебышева II рода 1. Общие свойства. 2. Асимптотические свойства. 3. Экстремальные свойства. 4. Ряды Фурье. 5. Примеры разложений в ряды Чебышева-Фурье.	4	4				[1], [3], [2]
1.7.	Многочлены Лежандра 1. Формула Родрига. 2. Производящие функции. 3. Дифференциальные уравнения. 4. Интегральные представления и равномерная оценка. 5. Ряды Фурье. 6. Примеры разложений функций	4	4				[1], [3], [4]
1.8.	Многочлены Якоби 1. Ультрасферические многочлены. 2. Формула Родрига. 3. Производящая функция. 4. Дифференциальное уравнение. 5. Ряды Фурье.	4	2				[1], [3]
1.9.	Многочлены Чебышева –Эрмита 1. Формула Родрига. 2. Производящие функции. 3. Дифференциальные уравнения. 4. Интегральные представления и равномерная оценка. 5. Ряды Фурье. 6. Примеры разложений функций	2	2				[1], [3]
1.10.	Многочлены Чебышева –Лагерра 1. Формула Родрига. 2. Производящие функции. 3. Дифференциальные уравнения. 4. Интегральные представления и равномерная оценка. 5. Ряды Фурье. 6. Примеры разложений функций	2	2				[1], [3]
2.	Рациональные функции (12ч.)	16	6
2.1.	Ортогональные системы рациональных функций на единичной окружности 1. Ортогональные системы рациональных функций Уолша – Мальмквиста. 2. Ряды Фурье по данной системе. 3. Признаки их сходимости.	4	2				[5], [6]
2.2.	Системы рациональных функций на отрезке 1. Ортогональные системы рациональных функций Джрбашяна–Китбаляна. 2. Рациональные дроби Чебышева–Маркова. 3. Свойства.	4	2				[9], [6]
2.3.	Системы рациональных функций на отрезке 1. Ортогональные системы рациональных функций P. Borwein и T. Erdelyi. 2. Свойства. 3. Связь с системой –Китбаляна.	4					[9], [10]
2.4	Системы рациональных функций на вещественной оси 1. Ортогональные системы рациональных функций. 2. Рациональные дроби Бернштейна. 3. Свойства.	4	2				[6], [8]

5. ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

ПО ДИСЦИПЛИНЕ

5.1. Перечень рекомендуемой литературы

1.  Суэтин ортогональные – М.: Наука. 1979. – 415с.

2.  ртогональные многочлены. – М.: ГИФМЛ,1962. – 500с.

3.  Натансон теория функций. 1949.

4.  Турецкий интерполирования в задачах. Часть 2. – Мн.: «Вышэйшая школа». – 1973.

5.  К теории рядов Фурье по рациональным функциям // Изв. АН. Арм. ССР. Сер. физ.-мат. наук, 1956. – Т.9. №7. – С.3-28.

6.  Русак функции как аппарат приближения. – Мн.: Изд-во БГУ, 1979. – 176с.

7.  Даугавет в теорию приближения функций. – Ленинград: Изд. ЛГУ, 1977. – 184с.

8.  Ровба и ряды Фурье в рациональной аппроксимации. – Гродно: ГрГУ, 2001. – 106с.

9.  , Об одном обобщении многочленов Чебышева // Доклады АН Арм. ССР. – 1964. – Т. 38, №5. – С. 263-270.

10.  Peter Borwein, Tamas Erdelyi. Polynomials and Polynomial Inequalities. – Springer. 1995

5.2. Перечень средств диагностики результатов учебной деятельности

1.  Проверка индивидуальных заданий.

2.  Зачёт.

6. ПРОТОКОЛ СОГЛАСОВАНИЯ УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЫ

ПО ИЗУЧАЕМОЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ

С ДРУГИМИ ДИСЦИПЛИНАМИ СПЕЦИАЛЬНОСТИ

Название дисциплины, с которой требуется согласование	Название кафедры	Предложения об изменениях в содержании учебной программы по изучаемой учебной дисциплине	Решение, принятое кафедрой, разработавшей учебную программу (с указанием даты и номера протокола)[3]
1.ФАИУ	ТФФА		Утверждено пр №5 от 01.01.2001

7.  ДОПОЛНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ К УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЕ

на ____ / _____ учебный год

№ п/п	Дополнения и изменения	Основание

Учебная программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры (протокол № __ от _______ 20__ г.) Заведующий кафедрой доктор физ.-мат. навук, доцент ______________ УТВЕРЖДАЮ Декан факультета кандидат тех. наук, доцент___ ______________ (степень, звание) ()

 

[1] Если учебным планом учреждения высшего образования по специальности (направлению специальности, специализации) предусмотрено выполнение курсовой работы (проекта) по данной дисциплине.

[2] Включая количество часов на выполнение курсовой работы (проекта) в соответствии с учебным планом по специальности (направлению специальности, специализации).

[3] При наличии предложений об изменениях в содержании учебной программы по изучаемой учебной дисциплине