Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто
- 30% recurring commission
- Выплаты в USDT
- Вывод каждую неделю
- Комиссия до 5 лет за каждого referral
Задачи для самостоятельного решения
Задачи для самостоятельного решения.
1. Найдите собственные значения и собственные функции краевой задачи
1.1. 
.
1.2. 
1.3. 
1.4. 
1.5. 
1.6. 
Указание: выполнить замену переменной 
.
2. Привести к каноническому виду уравнение
Найти решение, удовлетворяющее условиям
Ответ: 
3. Решить задачу Коши для волнового уравнения
Ответ: 
Ответ: 
, 
, 
/
Ответ: 
, 
, 
.
Ответ: 
, ,
Указание. Продолжить начальные условия на всю прямую нечётно и
воспользоваться формулой Даламбера.
Ответ: 
, ,
Указание. Продолжить начальные условия на всю прямую нечётно и
воспользоваться формулой Даламбера.
Ответ: 
18. Решить задачу Коши для неоднородного волнового уравнения
, 
,
Ответ. 
Указание. Использовать интеграл 
. Ответ: 
20. Начальное распределение температуры внутри бесконечного стержня 
задаётся формулой 
. Найти распределение температуры внутри стержня в любой момент времени 
.
Указание. Использовать интеграл . Ответ: 
.
Указание. Выполнить замену 
.
Ответ. 
. Решение выразить через интеграл ошибок. Ответ. 
22. Найти решение краевой задачи для уравнения теплопроводности
, 
. Решение записать через
интеграл ошибок. Ответ. 
, 
. Решение записать через
интеграл ошибок.
Указание. Выполнить замену 
.
Ответ. 
24. Найти решение краевой задачи для уравнения теплопроводности
, . Решение записать через
интеграл ошибок.
Указание. Выполнить замену .
Ответ. 
, 
.
Указание. Выполнить замену 
.
Ответ. 
26. Конец 
полуограниченной струны 
начиная с момента 
движется по заданному закону 
. Найти отклонение 
точек струны
при , если начальные отклонения и скорости равны нулю.
Указание. Решение искать в виде 
.
Ответ: 
27. К концу полуограниченного стержня приложена продольная сила 
с момента . Найти продольные колебания стержня при , если начальные отклонения и скорости равны нулю. Модуль упругости стержня 
, площадь сечения 
, плотность 
.
Указание. Решение искать в виде . Ответ: 
28. Найти решение краевой задачи для уравнения теплопроводности
. 
Указание. Выполнить замену 
Ответ. 
, 
29. Найти решение краевой задачи для уравнения теплопроводности
.
Указание. Выполнить замену
Ответ. 
, , 
30. Найти решение краевой задачи для волнового уравнения
, 
, 
, 
,
Указание. Выполнить замену 
Ответ. 
, .
Задачи для уравнения Лапласа.
31. Найти решение уравнения Лапласа 
в кольце 
, удовлетворяющее условиям 
.
Указание. Перейти в полярные координаты и искать решение, не зависящее от 
.
Ответ.
.
32. Найти стационарное распределение температуры в пластинке в форме кругового сектора
, на границе которого задана температура 
. Указание. Применить метод разделения переменных. Ответ. 
,
.
33. Найти стационарное распределение температуры в пластинке в форме кругового сектора , радиусы которого поддерживаются при температуре 
, а дуга окружности при температуре 
.
Указание. Выполнить замену 
и применить метод разделения переменных.
Ответ. 
, 
.
34. Найти стационарное распределение температуры в пластинке в форме кругового сектора , радиусы которого поддерживаются при температуре 
, а дуга окружности при температуре 
.
Указание. Выполнить замену 
и применить метод разделения переменных.
35. Решить краевую задачу в прямоугольнике 
для уравнения Лапласа при граничных условиях 
, 
.
Указание. Применить метод разделения переменных.
36. Решить краевую задачу в прямоугольнике для уравнения Лапласа при граничных условиях 
, 
.
Указание. Применить метод разделения переменных.
37. Найти стационарное распределение температуры 
в бесконечном брусе квадратного сечения 
, три стороны которого поддерживаются при нулевой температуре, а на четвёртой 
постоянная температура 
. Указание. Применить метод разделения переменных.
Ответ. 
.
38. Найти электростатическое поле внутри области 
, ограниченной проводящими пластинами 
, если пластина заряжена до потенциала 
, а пластины 
заземлены. Заряды внутри области отсутствуют.
Указание. Применить метод разделения переменных.
Ответ. 
.
39. Найти электростатическое поле внутри области 
, ограниченной проводящими пластинами 
, если пластина 
заряжена до потенциала , а пластины 
заземлены. Заряды внутри области отсутствуют.
Указание. Применить метод разделения переменных.
Ответ. 
.
40. Найти решение краевой задачи в полуполосе 
для уравнения Лапласа при граничных условиях 
, 
, 
, 
. Указание. Применить метод разделения переменных.
Ответ. 
.
Вариант 1
1. Решите уравнение теплопроводности 
, 
, 
, с дополнительными условиями: 
, 
, 
.
2. Сведите краевую задачу 
, , ; 
, 
, 
, 
к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Определите собственные значения и собственные функции задачи.
Вариант 2
1. Решите уравнение теплопроводности , 
, , с дополнительными условиями: 
, , 
.
2. Сведите краевую задачу 
, , ; , , 
, к задаче с однородными граничными условиями. Определите собственные значения и собственные функции задачи.
Вариант 3
1. Решите уравнение теплопроводности , , с дополнительными условиями: , 
.
2. Найдите собственные значения и собственные функции уравнения теплопроводности , , , с заданными дополнительными условиями 
, 
, 
.
Вариант 4
1. Решите уравнение теплопроводности , , с дополнительными условиями: , .
2. Сведите краевую задачу , , ; , , 
к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.
Вариант 5
1. Решите уравнение теплопроводности , , , с дополнительными условиями: , 
.
2. Сведите краевую задачу , , ; , , 
, к задаче с однородными граничными условиями. Определите собственные значения и собственные функции задачи.
Вариант 6
1. Решите уравнение теплопроводности , 
, , с дополнительными условиями: , 
.
2. Сведите краевую задачу , , ; , , к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Определите собственные значения и собственные функции задачи.
Вариант 7
1. Решите уравнение теплопроводности , 
, , с дополнительными условиями: , 
.
2. Сведите краевую задачу , , ; 
, 
, , 
к задаче с однородными граничными условиями. Определите собственные значения и собственные функции задачи.
