Численные исследования классических и неклассических форм потери устойчивости прямоугольной пластины, имеющей на одной из кромок подкрепление в виде прямолинейного стержня

ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ И НЕКЛАССИЧЕСКИХ ФОРМ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ, ИМЕЮЩЕЙ НА ОДНОЙ ИЗ КРОМОК ПОДКРЕПЛЕНИЕ В ВИДЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ

, ,

Казанский государственный технический университет
им. А. Н. Туполева, Казань, Россия

С целью развития и обобщения результатов, изложенных в работах [1–4] и посвященных исследованию неклассических задач теории устойчивости стержней, в данной работе проведено численное исследование классических и неклассических форм потери устойчивости (ФПУ) конструкции, состоящей из прямоугольной ортотропной пластины постоянной толщины, соединенной по одной кромке с ортотропным прямолинейным стержнем постоянного поперечного сечения и нагруженной по кромкам погонной силой, действующей совместно или порознь с осевой сжимающей силой стержня (см. рис. 1).

Линеаризованные уравнения нейтрального равновесия рассматриваемой конструкции получены исходя из вариационного критерия устойчивости. Выражение для полной потенциальной энергии конструкции было составлено на основании обобщенного вариационного принципа, предложенного в [5] и подразумевающего введение усилий взаимодействия на поверхности контакта между пластиной и стержнем. Указанные контактные усилия включаются в число функциональных неизвестных и определяются из дальнейшего решения задачи. При выводе уравнений было принято, что механика деформирования ортотропных пластины и стержня описывается в рамках соответствующих уточненных кинематических моделей типа С. П. Тимошенко. Для оболочек такие линеаризованные уравнения устойчивости, основанные на редукции непротиворечивых трехмерных уравнений теории упругости, составленные для случая малых деформаций и конечных перемещений и поворотов, были получены в [2], а для плоских криволинейных стержней в [3]. Уравнения нейтрального уравнения составлены без учета деформационных параметрических слагаемых.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Задание на кромках пластины и торцах стержня условий шарнирного закрепления позволило воспользоваться традиционным приемом и представить функциональные неизвестные по тригонометрическим функциям в направлении оси , сводя исходные уравнения к безразмерной одномерной системе уравнений нейтрального равновесия пластины и системам алгебраических уравнений, описывающих устойчивость стержня и условия его сопряжения с пластиной.

Разработанная численная методика решения для дискретизации сформулированной краевой задачи использует хорошо зарекомендовавший себя метод конечных сумм. В соответствии с ним исходная система дифференциальных уравнений сводится к системе интегральных уравнений Вольтера 2-го рода, численное решение которой осуществляется методом механических квадратур с заменой входящих в нее интегральных операторов конечно-суммарными аналогами.

В рамках проведенных вычислительных экспериментов исследовалась конструкция, состоящая из стержня прямоугольного поперечного сечения, скрепленного шарнирно с пластиной. В результате расчетов определялась величина безразмерного параметра критической нагрузки и соответствующая этому значению форма потери устойчивости для различных вариантов закрепления ненагруженной кромки пластины (заделка, шарнирное опирание, свободный край) и различных сочетаний относительных размеров пластины и поперечного сечения стержня. Проведено исследование влияния на величину параметра критической нагрузки и на факт реализации в конструкции пространственных изгибно-крутильных ФПУ положения точки крепления пластины по высоте сечения стержня. Исследованы конструкции, включающие ортотропный стержень с пониженной крутильной жесткостью.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (09-01-00323-а, 09-08-00431-а) и по федеральной целевой программе «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (мероприятие 1.1 «Проведение научных исследований коллективами научно-образовательных центров», № 000-1.1-112-049-024. Гос. контракт № 02.740.11.0205 от 7 июля 2009 г.)

литература

1. Паймушин геометрической нелинейности и устойчивости в механике деформируемых твердых тел // Тр. междунар. конф. китайско-российской аэрокосмической техники. – Northwestern Polytechnical University Press, 2006. – С. 20–42.

2. Паймушин геометрической нелинейности и устойчивости в механике тонких оболочек и прямолинейных стержней // ПММ. – 2007. – Т. 71. – Вып. 5. – С. 867–905.

3. , Полякова уравнения теории плоских криволинейных стержней при конечных перемещениях и линеаризованные задачи устойчивости // ПММ. – 2009. – Т. 73. – Вып. 2. – С. 303–324.

4. , , Холмогоров аналитические и численные решения задач устойчивости прямого композитного стержня при осевом сжатии с кручением // Механика композитных материалов. – 2009. – Т. 45. – № 2. – С. 167–200.

5. Паймушин задачи сопряжения составных пространственных тел, тонких оболочек и вариационные методы их решения // ПММ. – 1985. – Т. 49. – Вып. 2. – С. 348–352.