Метод дискретных особенностей в применении к решению сингулярных интегро-дифференциальных уравнений

МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ ОСОБЕННОСТЕЙ В ПРИМЕНЕНИИ К РЕШЕНИЮ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Ереван, Армения

В настоящей работе сингулярный интеграл с ядром Коши на отрезке от производной функции, представимой в виде произведения непрерывной ограниченной функции и весовой функции Якоби, аппроксимируется конечной суммой, в которую входят значения регулярной части функции в корнях соответствующих ортогональных многочленов, в общем случае – многочленов Якоби. Полученная квадратурная формула позволяет метод дискретных особенностей непосредственно использовать для решения сингулярных интегро-дифференциальных и гиперсингулярных уравнений.

Рассмотрим следующий интеграл:

(1)

где

(2)

– непрерывная ограниченная функция на замкнутом отрезке [-1,1].

Заменяя функцию интерполяционным многочленом

для производной функции будем иметь:

при и

(3)

при

(4)

при

(5)

При выводе формул (3)-(5) использовано тождество

(6)

где

Далее, подставляя выражения (3)-(5) в (1) и меняя порядок интегриро­ва­ния и суммирования, получим:

при и

(7)

при

(8)

при

(9)

где – функция Якоби второго рода, одним из многих ее представлений является следующее [1]:

(10)

Здесь – бета-функция, – гипергеометрический ряд.

Отметим, что функция принимает различные значения в зависимости от того, стремится ли точка к точке интервала из верхней полуплоскости или из нижней полуплоскости . В точках интервала функция определяется как полусумма этих значений:

При вычислении в узловой точке следует в соответствующем слагаемом использовать предельные значения:

при и

при

при

Квадратурные формулы (7)-(9) можно с успехом использовать для ре­шения гиперсингулярных интегральных уравнений, содержащих слагаемое типа

. (11)

Такого рода уравнения встречаются в аэродинамике [3,4] при исследовании дисперсии упругих волн [5], в задачах изгиба пластин с тонкими жесткими включениями [6] и др.

Интеграл понимается в смысле конечного значения по Адамару [2]

(12)

Из (12) нетрудно получить, что

, (13)

то есть интеграл можно понимать как результат формального интегрирования по частям.

Очевидно, что при условии (2), за исключением случая и , функции и равны и для них обеих применимы квадратурные формулы (7)-(9).

ЛИТЕРАТУРА

1.  ысшие трансцендентные функции, СМБ. Т.2. М.: Наука, 1966. 296 с.

2.  адачи Коши для линейных уравнений с частными произ­водными гиперболического типа. М.: Наука, 1978.

3.  Лифанов сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. – М.: ТОО «Янус», 1995.

4.  Смирнов определение несобственных интегралов по Адамару, встречающихся в математических моделях аэродинамики, для целых степеней особенности. // Тр. МАИ, Электронный журнал. 31 января 2007. № 26.

5.  J.-F. Lu and A. Hanyga Scattering of SH Wave by a crack terminating at the interface of a bimaterial. Computational Mechanics, Springer-Verlag, 34 (2004), 74-85.

6.  , , Об особенностях контактных усилий при изгибе пластин с тонкими включениями. //ПММ. 1986. Т.50. Вып.2. С.293-302.

Сведения об авторе:

Саакян Аветик Вараздатович

К. ф.-м. н. зам. директора по научной части

Институт механики НАН РА

E-mail: avsah@mechins.sci.am