Математика и информатика (стр. 8 )

Здесь: p1, p2, p3 – вероятность выпадения герба в 1, 2, 3 испытаниях.

q1, q2, q3 – вероятность не выпадения герба в 1, 2, 3 испытаниях.

Результаты вычислений вынесены в таблицу 1.

Таблица 1

Результаты вычислений

Событие Х	герб не выпал	герб выпал 1 раз	герб выпал 2 раза	герб выпал 3 раза
хi	0	1	2	3
Вероятность события Р(хi)= рi

Пример_2. Для задачи в примере 1 найти функцию распределения вероятности F(х) этой случайной величины и построить ее. Построить многоугольник распределения.

Решение.

Если х £ 0, то F( х ) = Р ( Х < х ) = 0.

Если 0 < х £ 1, то F( х ) = Р ( Х < х ) = 1/8.

Если 1 < х £ 2, то F( х ) = Р ( Х < х ) = 1/8 + 3/8 = 0,5.

Если 2 < х £ 3, то F( х ) = Р ( Х < х ) = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 7/8.

Если х > 3, то F( х ) = Р ( Х < х ) = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8 = 1.

В таблицу 2 внесены значения функции распределения вероятности F(х) случайной величины – х.

Таблица 2

Функция распределения вероятности F(х)

№	1	2	3	4	5
хi	0	1	2	3	>3
функция распределения F( х )	0	0,125	0,5	0,875	1

Для построения многоугольника распределения значения случайной величины х переписаны в другой форме из таблицы 1 в таблицу 3.

Таблица 3

Ряд распределения Р(хi)= рi

№	1	2	3	4
хi	0	1	2	3
Ряд распределения Р(хi)= рi	0,125	0,375	0,375	0,125

Многоугольник распределения вероятности представлен на рис.6.

Рис.6 Многоугольник распределения

Функция распределения вероятности представлена на рис.7.

Рис.7. Функция распределения

Пример_3. Найти математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднее квадратическое отклонение s(Х) дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения в таблице 4.

Таблица 4

Х	-5	2	3	4
р	0,4	0,3	0,1	0,2

Решение.

Математическое ожидание М(Х) вычисляется по формуле (18):

М(Х) = x1· p1 + x2· p2 + … + xn· pn.

М(Х) = - 5× 0,4 + 2× 0,3 + 3× 0,1 + 4× 0,2 = - 0,3.

Дисперсия вычисляется по формуле (20):

D(Х) = М(Х2) - [М(Х)]2.

Закон распределения Х2 представлен в таблице 5.

Таблица 5

Х2	25	4	9	16
р	0,4	0,3	0,1	0,2

Математическое ожидание М(Х2) вычисляется по формуле (18):

М(Х2) = 25×0,4 + 4×0,3 + 9× 0,1 + 16×0,2 = 15,3.

Искомая дисперсия:

D(Х) = М(Х2) - [М(Х)]2 = 15,3 -(-0,3)2 = 15,21.

Тогда среднее квадратическое отклонение будет:

.

2.6. Непрерывные случайные величины. Нормальный закон распределения вероятности

2.6.1. Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины

Если рассматривать случайную величину Х, значения которой заполняют интервал (a, b) и составить перечень всех возможных её значений невозможно, то она называется непрерывной. В результате этого появилась необходимость дать общий способ задания любых типов случайных величин. Для этого вводится функция распределения вероятностей случайной величины. Функция распределения F(х) для непрерывной случайной величины имеет вид

(24)

Функция f(х) называется плотностью вероятности:

(25)

Непрерывная случайная величина задается либо функцией распределения F(х) (интегральным законом распределения), либо плотностью вероятности f(х) (дифференциальным законом распределения).

Cвойства функции распределения F(х):

1. Значения функции распределения F(х) принадлежат отрезку [0, 1]:

0 £ F(x) £ 1.

2. F(х) – неубывающая функция: F(x2) ³ F(x1), если x2 > x1 .

Следствие_1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале [a, b] равна приращению функции распределения на этом интервале P(a £ X < b)=F(b)-F(a).

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу [a, b], то: F(x)=0 при x £ a; F(x)=1 при x ³ b. Геометрически это означает, что полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс равна единице.

Следствие_2. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то:

Cвойства плотности вероятности f(х):

1. Плотность вероятности не может быть отрицательной функцией. f(x)³0.

2. Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах

от – ¥ до + ¥ равен единице.

(26)

Следствие. В частности, если значения случайной величины находятся в интервале (a, b), то вероятность попадания в заданный интервал.

(27)

Функция распределения связана с плотностью формулой

(28)

2.6.2. Основные характеристики непрерывной случайной величины

Свойства случайной величины могут характеризоваться различными параметрами. Важнейшие из них – математическое ожидание случайной величины, которое обозначается через М(Х), и дисперсия D(Х) = s2(Х), корень квадратный из которой s (Х) называют среднеквадратическим отклонением.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х определяется по формуле:

(29)

f(х) – плотность вероятности распределения случайной величины Х.

Дисперсия непрерывной случайной величины Х может быть вычислена по формуле (30) или (31):

(30)

(31)

Среднее квадратическое отклонение определяется формулой (23).

Если математическое ожидание случайной величины даёт «ее среднее значение» или точку на координатной прямой, «вокруг которой разбросаны» значения рассматриваемой случайной величины, то дисперсия характеризует «степень разброса» значений случайной величины около её среднего.

2.6.3. Закон равномерного распределения непрерывной случайной величины

На практике приходится при решении задач сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин. Плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины называют законом распределения.

Непрерывная случайная величина X называется распределенной равномерно на отрезке [a, b], если ее плотность распределения вероятностей постоянна на данном отрезке

(32)

Функция распределения в этом случае примет вид

(33)