«Эстетический потенциал математических задач»
«Эстетический потенциал математических задач»
учителя математики
МОУ « Средняя общеобразовательная школа №8»
Селедец Алены Михайловны.
г. о. Саранск Республики Мордовия
Обучение математике призвано развивать познавательные и творческие способности каждого ребенка, его интеллект, культуру и должно быть направлено на творческое развитие личности школьника. Важной составляющей любого вида творческой деятельности, в частности, математической, является ее эстетика (эстетика/аesthesis – «философская дисциплина, изучающая выразительные формы, соответствующие представлениям о прекрасном» как стремление к творчеству «по законам красоты»). Это обусловлено, во-первых, на интуитивном уровне (стремлением человека к изяществу и гармонии), а во-вторых, наличием сходства восприятия действительности в различных областях искусства и математике. На указанное сходство обращали внимание такие великие математики как Герман Вейль «… математика играет весьма существенную роль в формировании нашего духовного облика. Занятие математикой – подобно мифотворчеству, литературе или музыке – это одна из наиболее присущих человеку областей его творческой деятельности, в которой проявляется его человеческая сущность, стремление к интеллектуальной сфере жизни, являющейся одним из проявлений мировой гармонии». А. Эйнштейн - писал: «В научном мышлении всегда присутствует элемент поэзии. Настоящая наука и настоящая музыка требует одного мыслительного процесса». Аналогичные мысли высказывали еще философы пифагорейской школы и другие.
Математика – это не только стройная система знаков, теорем и задач, но и уникальное средство познания эстетики красоты окружающего мира: красота многогранна и многолика. Она выражает важную целесообразность устройства мира, подтверждает универсальность математических закономерностей, которые действуют одинаково эффективно в кристаллах и живых организмах, в атоме и во Вселенной, в произведении искусства и научных открытиях.
О красоте математики написано немало. Авторы видят ее в гармонии чисел и форм, геометрической выразительности, стройности математических формул, решении задач различными способами, в изяществе математических доказательств, в порядке, богатстве приложений, универсальности математических методов. Под понятие красоты подводится широкий спектр различных объектов от схем зверушек, составленных из отрезков, до представления красивого объекта моделью, удовлетворяющей требованиям изоморфизма, простоты и неожиданности. Так, привлекательность математического объекта видит в совокупности следующих характеристик:
1) универсальность использования в различных разделах математики, как правило, изначально совсем неочевидная;
2) продуктивность или возможность побудительного влияния на дальнейшее продвижение в данной области на основе абстракции и обобщения;
3) максимальная емкость охвата объектов рассматриваемого типа.
Наиболее четко характеристика эстетической привлекательности математического объекта дана Г. Биркгофом: M=O/C, где M - мера красоты объекта, O - мера порядка, а C - мера усилий, затрачиваемых для понимания сущности объекта. С формулой красоты, предложенной Г. Биркгофом, созвучна модель, разработанная . По его мнению, красота математического объекта может быть выражена посредством изоморфизма между этим объектом и его наглядной моделью, простотой модели и неожиданностью его появления. Изоморфизм предполагает правильные, неискаженные отражения основных свойств явления в его наглядной модели. Созвучность видится в том, что как в первой, так и во второй модели мера красоты тем выше, чем меньше мера сложности объекта (по Г. Биркгофу) или чем проще наглядная модель исследуемого объекта (по ).
признаками проявления прекрасного в содержании математики считает: соответствие математического объекта его стандартному, стереотипному образу; порядок, логическую строгость; простоту; универсальность использования этого объекта в различных разделах математики; оригинальность, неожиданность.
В научной литературе выделяются и основные черты, признаки эстетически привлекательного математического объекта:
1) соответствие математического объекта его стандартному, стереотипному образу;
2) порядок, логичная строгость;
3) красота;
4) универсальность использования этого объекта в различных объектах математики;
5) оригинальность, неожиданность.
Раскрывая содержание эстетического потенциала математики, можно выделить в нем два аспекта, условно названных внешним и внутренним.
Под внешним аспектом следует понимать математический аппарат, являющийся необходимым инструментом наглядного познания законов гармонии объективного мира. Основу этого математического аппарата составляют учения о симметрии и таких её частных проявлений как пропорция («золотое сечение»), периодичность, о центральном проектировании, которое в теории живописи рассматривается как учение о перспективе.
Внешнюю эстетику математики можно подразделить на эстетику геометрических форм и эстетику аналитической записи.
Эстетика геометрических форм проявляется, прежде всего в красоте геометрических линий, в красоте геометрических орнаментов, в красоте многогранников, в красоте правильных многоугольников, в красоте симметричных фигур, пропорциях и т. п.
Красота аналитической записи проявляется в виде всевозможных числовых узоров, в красоте числовых и буквенных выражений, в красоте формул, в записи системы уравнений, в оформлении доказательства теоремы или решения задачи, в использовании всевозможных табличных или матричных способов подачи учебного материала и т. п.
Таким образом, в случае внешнего аспекта эстетического потенциала математики речь идет о формальной красоте (красота, постигаемая чувствами, радующая глаз).
Рассмотрим конкретные примеры таких задач.
Геометрические задачи имеющий красивый чертеж.
Задачи на построение чертежей, вызывают интерес именно условием (красивый чертеж). Поэтому учащиеся начинают фантазировать на данную тему, и у них получаются оригинальные чертежи.
Задача 1.
1. Зигзаг разделил правильный девятиугольник на треугольники, как показано на рисунке. Какая часть площади больше: закрашенная или незакрашенная?
Решение. Проведем в девятиугольнике еще несколько диагоналей.
Девятиугольник разбился на 13 треугольников. На рисунке образовалось много параллелограммов и трапеций с диагоналями. Расставим номера треугольников, причем одинаковым номером отметим равные треугольники разных цветов. 12 из них разбились на пары, а тринадцатому, который оказался закрашенным, пары не хватило. Значит, закрашенная часть площади девятиугольника больше его незакрашенной части.
Ответ: закрашенная.
Приведем примеры и других задач, имеющих эстетически привлекательную формулировку.
Задача 2. Концы нитки, продетой через кольцо, закреплены на концах А и В дощечки. Длина нити L больше расстояния АВ. Найти отрезки, на которые делится нитка свободно висящим кольцом при наклоне дощечки на угол ω от вертикали. Трением и весом нитки пренебречь.
Задача 3. Имеется в наличии: картина, веревка, два гвоздя, вбитых в стену. Нужно: повесить картину на стенку так, чтобы при вытаскивании любого из гвоздей она падала.
Эстетически привлекательны задачи, формулировкам которых свойственна большая информативность. Примером может служить задача об окружности девяти точек треугольника. Эта задача объединяет общей закономерностью почти все замечательные точки треугольника: середины сторон треугольника, основания высот, середины отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами треугольника и середину отрезка, концами которого являются точка пересечения высот и центр описанной окружности.
Внутренний аспект эстетического потенциала математики связан с красотой интеллектуальной, доступной только разуму. Источниками этой красоты являются те особенности математических объектов (фактов, теорем, задач, способов рассуждений) благодаря которым эти объекты могут вызвать в нас чувства «изящного», прекрасного.
Наиболее значимым является порядок, обозначающий оптимальное взаимное соотношение различного в составе целого.
В силу этого важным компонентом внутреннего аспекта эстетического потенциала математики является эстетика процесса математического познания, а именно, те эмоциональные переживания, которые испытывает учащийся как от успешного продвижения по ступенькам математического познания, так и от того конечного продукта, созданного в результате этой деятельности.
На основе вышесказанного, к задачам, эффективно реализующим внутренний аспект эстетического потенциала математики отнесем задачи, обладающие красивым способом решения или решением с использованием красивого метода. Приведем примеры таких задач.
Задачи, имеющие красивый способ решения.(
Задача про колодец
На поле вырыт круглый колодец. У нас есть очень много разных бесконечно длинных досок. Каждая доска имеет какую-то свою ширину. И мы этими досками полностью закрыли колодец так, что не осталось никаких щелей (доски необязательно все параллельны друг другу). Доказать, что сумма ширин досок 
всегда будет не меньше диаметра колодца.
Давайте накроем колодец полусферой, как показано на рисунке, а в колодец установим огромный прожектор, который светит параллельными вертикальными лучами наверх. И рассмотрим очень-очень тонкую доску, шириной 
, которая лежит на колодце.
Заметим что, чем дальше расстояние доски от центра колодца, тем меньше становится длина 
, которую занимает доска непосредственно над колодцем, но вместе с этим тем круче становится угол наклона тени от этой доски на полусфере. Оказывается, что эти два процесса компенсируют друг друга, и площадь тени 
не зависит от расстояния доски от центра колодца. Действительно, длина доски над колодцем 
, а тангенс угла наклона тени равен 
. Получаем формулу для площади тени от доски, которая равна длине тени умноженной на ее ширину:
Мы видим, что, действительно, где бы над колодцем не находилась очень тонкая доска шириной , площадь ее тени на полусфере будет всегда равняться 
, то есть будет зависеть только от ширины доски . Это свойство «независимости» выполняется и для досок любой ширины, ведь их можно представить как множество скрепленных между собой тоненьких досок. В итоге мы получаем замечательный результат: если ширина доски над колодцем равна 
, то площадь ее тени 
равна 
.
Пусть теперь множество досок ширинами 
полностью закрывают наш колодец. Некоторые из досок могут, конечно же, не всей своей шириной располагаться над колодцем. Поэтому площадь тени каждой из досок 
. Разные доски могут накладываться друг на друга, поэтому площадь общей тени
Но так как доски закрывают колодец без щелей, то их общая тень заполняет всю полусферу, а значит имеет площадь
. В итоге получаем, что
Что и требовалось доказать.
Задачи имеющие решения с использованием красивого метода.
Задача 14. Дана трапеция ABCD. Диагонали данной трапеции равны а и b, основания равны с и d. Найти площадь трапеции.
В данной задаче имеется несколько способов нахождения:
1-й способ: S=1/2*(d+c)*h
2-й способ: S=1/2*аb*cosα
3-й способ: Проведем параллельную прямую BD, CE, следовательно, CE=b, а DE=c. Теперь мы рассмотрим треугольник ACE в котором все стороны нам известны. Отсюда мы можем найти S∆ по формуле Герона: 
где p - полупериметр треугольника: 
Найдя площадь треугольника по формуле Герона, мы можем найти S∆=1/2*(d+c)*h, h=2S/(d+c).
Подставив h в формулу, мы найдем площадь трапеции.
В данной задаче мы использовали «неожиданный» способ нахождения площади трапеции с помощью параллельного переноса.
Рисунок 12
Особое эстетическое удовольствие доставляет сведение сложности к простоте. Например, решая сложную задачу, мы смогли построить простую, наглядную модель, благодаря которой решение данной задачи стало очевидным. Несомненно, что такой контраст между сложностью
Итак, на основе вышесказанного в эстетике математики условно можно выделить две основные линии:
1) линию внешней эстетики, проявляющуюся в эстетике геометрической формы, образов, аналитической записи, оформления решения задач и др.;
2) линию внутренней эстетики, проявляющуюся в эстетике смысла, математического содержания, числовых превращений, числовых закономерностей, математического рассуждения, доказательств, решений и т. д.
На основе вышеизложенного, выделяют критерии эстетичности учебного материала. Учебный материал должен быть эстетически оформлен изложен логически последовательно, системно и привлекательно. Изложение материала должно быть образным и четким.
В зависимости от этих критериев, можно выделить 4 уровня оценки изложения эстетичности учебного материала.
Первый уровень характеризует изложение материала, в котором адекватно воспринимается эстетический объект в единстве содержания и форм: восприятие целостное в нем гармонически сочетается интеллектуальное и эмоциональное.
Для второго уровня характерна адекватность, восприятие эстетическому объекту, однако анализ эстетического объекта носит словесно - логический характер с низким уровнем эмоциональности.
Для третьего уровня характерны яркость и эмоциональность восприятие с недостаточным уровнем аналитического подхода.
Четвертый характеризуется недостаточным развитием эстетического восприятия: пересказ содержание, неумение выразить эстетическое своеобразие воспринимаемого предмет, явления действительности или произведение искусства, возможны ошибки в изложении и оценке эстетического объекта.
Из всего вышесказанного можно сделать вывод о том, что при систематической работе по формированию интереса к математике и нравственно-эстетических взглядов у ребят на протяжении лет обучения в школе складывается определенный образ красоты математики, который помогает им легче осваивать эту сложную, но интересную науку.
Список использованных источников
1. Азевич, уроков гармонии / . – М: «Школа – пресс»,1998. – 160с.
2. Балл, Г. А. О психологическом содержании понятия «задача» / Г. А. Балл // Вопросы психологии. – 1970. – №6 – С. 75 – 78.
3. Батаева, уроки стали радостными / // Математика в школе. – 2005. – №4. – С. 10 – 13.
4. Болтянский, культура и эстетика / // Математика в школе. – 1982 – № 2. – С. 40–43
5. Василевский, для внеклассной работы по математике / . – Минск: Народная асвета, 1988
6. Ведерникова, Т. Н./ Интеллектуальное развитие школьников на уроках математики / , // Математика в школе. – 2002. – № 3. – С.10–13.
7. Власкова, О. В. О составляющих эстетического потенциала школьной математической задачи / // Известия Российского государственного педагогического университета им. . – 2008. – № 82–2. – С. 21–26.
8. Гусева, возможности красивых заданий / Н. В. Гусева, // Математика в школе 1999. – № 1. – С. 16–17.
9. Далингер, помогает алгебре / // Математика в школе. – 1994. – №6. – С.29– 34.
10. Дорофеев, в примерах и задачах: учеб. пособ. / . – Информационно-издательский центр ПГУ, 2002. – 156 с.
11. Зенкевич, урока математики : пособие для учителей / И. Г. Зенкевич. – М. : Просвещение, 1981. – 79 с.
12. Кушнир, творческой активности учащихся на уроках повторения геометрии / // Математика в школе. – 1991. – № 1. – С.12–16.
13. Литяйкина, эстетического воспитания в педагогических концепциях России конца XIX – первой трети XX вв. : дис. … канд. пед. наук / Литяйкина Ольга Геннаьевна. – Саранск, 1997. – 243 с.
14. Пойа, Д. Как решать задачу / Д. Пойа. – М. : Учпедгиз,1961. – 208 с.
15. Рощина, Н. Л./ О воспитании эстетического вкуса учащихся при решении планиметрических задач / // Математика в школе. – 1997 – № 2. – С. 9–11.
16. Саввина, потенциал истории математики / О. А. Саввина // Математика в школе. – 2001 – № 3. – С. 14–18.
17. Саранцев, мотивы продвигают решение задачи / Г. И. Саранцев, // Математика в школе. – 2002. – № 7. – С. 26–30.
18. Саранцев, обучения математике :учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов / . – М.: Просвещение, 2002. – 224 с.
19. Саранцев, в обучении математике : учеб пособ. / Г. И. Саранцев.– М.: Просвещение, 1995. – 240 с.
20. Саранцев, мотивация в обучении математике : учеб. пособ. / / Мордов. гос. пед. институт. – Саранск, 2003. – 136 с.
21. Татаркевич, эстетика / . – М.,1977.
22. Ульянова, решения геометрической задачи как результат преобразований ее чертежа / / Актуальные вопросы методики обучения математике и информатике: межвуз. сб. науч. трудов. – Вып. 2. – Ульяновск: Изд-во УлГПУ имени И. Н. Ульянова, 2004. – С. 117–120.
23. Черникова, на готовых чертежах / // Математика в школе. – 1994. – №5. – С.4–7.
24. Шатуновский, Я. / Математика как изящное искусство и её роль в общем образовании / Я. Шатуновский // Математика в школе. – 2001 – № 3. – С. 18–20.
