Кривые второго порядка

Кривые второго порядка

Кривые второго порядка

Зафиксируем на плоскости прямоугольную систему координат и рассмотрим общее уравнение второй степени:

(1)

Определение. Множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), называется кривой второго порядка.

(2)

где .

Обозначим через единичные векторы, направленные по осям выбранной системы координат. Поскольку матрица симметричная, существует ортонормированный базис из собственных векторов , в котором матрица квадратичной формы диагональна и вещественна:

(3)

.

Пусть - матрица перехода от базиса к базису . Тогда

,

(4)

и

,

(5)

где - координаты х в базисе , а - координаты х в базисе .

С учетом (5) распишем (2):

	(6)
где .	(7)

Матрица - ортогональная, и геометрически переход от старой системы координат к новой соответствует повороту на некоторый угол против часовой стрелки.

Замечание. В наших рассуждениях мы предполагаем, что . Если же , то матрица сразу диагональна и необходимости в замене (5) нет.

Перепишем уравнение кривой второго порядка (1) в новых координатах :

(8)

Положим

(9)

Тогда

(11)

Возможны два случая: и .

1º. ( и ).

Преобразуем (8):

Замена эквивалентна переносу начала координат (0,0) в точку . При этом направление осей сохраняется.

Предположим, что , т. е. и одного знака. В этом случае геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (11), представляет собой эллипс , если знак противоположен знаку ; точку, если ; "мнимый эллипс" (пустое множество) ,если знак совпадает со знаком .

Пусть теперь ( и разных знаков). Тогда (11) будет уравнением гиперболы , если , и пары пересекающихся прямых, если .

В случае 1º кривая представляет собой центральную кривую второго порядка, у которой начало координат является центром симметрии.

2º. , т. е. .

Предположим, что , а . Тогда уравнение (8) приводится к виду

Здесь замена соответствует переносу начала координат в точку ; (12) - каноническое уравнение параболы .

Если , уравнение (8) приводится к виду

.

(13)

Это - пара параллельных прямых, если ; пара совпадающих прямых, если ; пара мнимых параллельных прямых (пустое множество точек) при .

Парабола

(1)

Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы. Прямоугольная система координат, в которой данная парабола имеет уравнение (1), называется канонической системой координат.

Установим геометрический смысл коэффициента . Для этого возьмем точку , называемую фокусом параболы (1), и прямую , определенную уравнением

.

(2)

Эта прямая называется директрисой параболы (1). Из (1) следует, что . Поэтому расстояние от точки до директрисы равно:

.

(3)

Расстояние от точки до фокуса есть

.

Таким образом, каждая парабола (1) есть геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса и от директрисы этой параболы.

Эллипс

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных точек и есть постоянное число, равное .

 

При этом точки и называются фокусами эллипса; расстояние между ними обозначается через и называется фокусным расстоянием. Число называется большой полуосью эллипса.

Пусть - какая-либо точка эллипса. Тогда

.

Если , то и точка принадлежит отрезку . В дальнейшем будем считать, что .

Определение. Число называется эксцентриситетом эллипса. Оно всегда меньше единицы. Эксцентриситет эллипса равен нулю, если фокусы эллипса совпадают: . В этом случае эллипс превращается в окружность с радиусом и центром . Если , то эллипс превращается в отрезок.

Пусть и - соответственно левый и правый фокусы эллипса, - произвольная точка эллипса, и - расстояния от точки до фокусов и соответственно. Тогда

.

(1)

Отсюда

Т. к. , то . Обозначим , называя малой полуосью эллипса. Теперь (2) можно переписать в виде или

.

(3)

Таким образом, показано, что всякая точка , удовлетворяющая (1), удовлетворяет уравнению (3). Докажем обратное, т. е. что каждая точка , удовлетворяющая (3), есть точка эллипса, и выполняется условие . Из (3) имеем

Следовательно,

Поскольку и , и можно записать

(4)

Аналогично,

(5)

Отсюда

,

т. е. точка принадлежит эллипсу. Следовательно, уравнение (3) действительно есть уравнение эллипса; его называют каноническим уравнением эллипса. Заметим, что обе оси эллипса являются его осями симметрии, и что центр эллипса является его центром симметрии.

Гипербола

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек и есть положительная постоянная, равная .

 

При этом точки и называются фокусами гиперболы, расстояние между ними обозначается и называется фокусным расстоянием. Число называется первой полуосью гиперболы. Середина отрезка называется центром гиперболы.

Из рисунка видно, что или .

Если , мы получаем точки , для которых или , т. е. принадлежит одной из двух полупрямых, дополняющих отрезок до всей прямой. В дальнейшем будем считать . Как и в случае эллипса, число называем эксцентриситетом гиперболы и обозначаем через , .

Пусть , , - произвольная точка гиперболы, и - расстояния от точки до фокусов и соответственно. Тогда

или (1)

Отсюда

Т. к. , . Обозначим . Теперь (2) можно переписать в виде или

.

(3)

Как и в случае эллипса, покажем теперь, что каждая точка, удовлетворяющая уравнению (3), удовлетворяет (1).

Аналогично . Поскольку , , имеем

	(4)
	(5)

Из (4), (5) следует, что , т. е. точка принадлежит гиперболе. Следовательно, уравнение (3) действительно есть уравнение гиперболы, его называют каноническим уравнением гиперболы.

Обе оси являются ее осями симметрии, центр гиперболы - ее центр симметрии. Асимптоты гиперболы - прямые .

Директрисой гиперболы (эллипса), соответствующей данному фокусу , называется прямая , ортогональная оси абсцисс, отстоящая от центра на расстояние и лежащая по ту же сторону от центра, что и фокус .

Таким образом, и у гиперболы, и у эллипса (не являющегося окружностью) - две директрисы. У гиперболы директрисы удалены от ее центра на расстояние, меньшее . У эллипса - наоборот.

Инварианты кривой второго порядка

Определение. Инварианты кривой - функции коэффициентов уравнения кривой, не меняющиеся при переходе (поворот, параллельный перенос) от одной прямоугольной системы координат к другой.

Теорема. Для кривой второго порядка

(1) сумма коэффициентов при квадратах координат , определитель, составленный из коэффициентов при старших членах , и определитель третьего порядка являются инвариантами.

Доказательство. Рассмотрим сначала перенос начала координат (0,0) в точку с координатами . При этом направление осей сохраняется. Тогда . Подставляя эти значения и в (1), получим

Из (2) непосредственно вытекает инвариантность при параллельном переносе и .

Рассмотрим определитель

Далее, при повороте осей координат на угол мы переходим от ортонормированного базиса к ортонормированному базису . При этом координаты связаны с координатами соотношением , где .

,

,

т. е.

.

(3)

и

.

(4)

Инвариантность примем без доказательства.

По значению можно судить о типе кривой: если - кривая эллиптического типа (эллипс, точка или "мнимый эллипс"); если - кривая гиперболического типа (гипербола или пара пересекающихся прямых); если - кривая параболического типа (парабола или пара параллельных прямых, возможно, совпадающих или "мнимых").

Рассмотренная теорема облегчает приведение уравнений кривой к каноническому виду. Для центральной кривой, когда , каноническое уравнение

,

(5)

где и - собственные значения матрицы .

Для уравнения (5)

,

откуда

,

и окончательно

.

(5')

Если и , то наша кривая - эллипс или "мнимый эллипс". Она будет эллипсом, если и разных знаков, т. е. если или . Кривая будет "мнимым эллипсом", если . Если же и , кривая представляет собой точку.

Если , то кривая является гиперболой при и распадается на пару пересекающихся прямых при .

Для параболы, уравнение которой приведено к виду

(6)

составим определитель :

откуда

Здесь и, следовательно, .

В случае пары параллельных прямых (различных, совпадающих или "мнимых") уравнение кривой приводится к виду .

Здесь .

Кривая эллиптического типа		. Эллипс
. "Мнимый эллипс"
	Точка
Кривая гиперболического типа		Гипербола
	Пара пересекающихся прямых
Кривая параболического типа		Парабола
	Пара параллельных прямых (различных, совпадающих или "мнимых")