УДК 51
О ЧИСЛЕ РЕШЕНИЙ ОДНОГО СРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ ОТ ЧЕТЫРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ.
Кафедра естественно-научного образования Юргинского технологического института Томского политехнического университета
*****@***ru
При рассмотрении сравнений от нескольких переменных, главным образом, решается вопрос о числе решений таких сравнений. Аппарат, предложенный в начале ХХ века , для решения данного вопроса, в последствии интенсивно разрабатывался. В настоящей статье, производится исследование одной задачи на сравнение по модулю, равному простому числу; речь идет о сравнении
(1)
Для рассматриваемого сравнения справедлива следующая
Теорема 1 Пусть 
число решений сравнения (1), тогда при любом 
справедлива формула
. (2)
Для доказательства данного результата нам понадобится ряд теорем.
Теорема 2 Число решений сравнения
Для всех простых 
не делящих 
, удовлетворяет неравенству
,
Где 
. [1]
Применив данную теорему к сравнению (1) получим следующий результат: 
, 
, Так как , то 
и 
. Таким образом,
или 
.
Однако, нам необходимо доказать строгое равенство (2). Для этого запишем сравнение (1) в виде системы двух сравнений
, (3)
Где с пробегает полную систему вычетов. Сравнения второй степени от двух переменных по простому модулю исследованы довольно подробно. Воспользуемся известным результатом о числе решений сравнения второй степени.
Теорема 3 Пусть число решений сравнения
.
Если 
, тогда
,
- дискриминант многочлена 
, 
- символ Лежандра. [2]
Для того чтобы воспользоваться теоремой 3 перепишем систему (3) в виде
. (4)
Пусть - простое число вида 
, тогда, рассматриваемый в теореме 3 символ Лежандра 
. Кроме того, дискриминант трехчленов стоящих в правой части каждого сравнения системы (4) определяется формулой 
. Так как 
пробегает полную систему вычетов вместе с с, то сравнение 
возможно только в случае, когда с=0.
Обозначим через 
число решений системы (4). Если с=0, то число решений каждого сравнения системы (4) равно 
, а вся система (4) имеет 
решений. Если 
, тогда 
и 
решений. Заметим, что число решений сравнения (1) равно сумме решений системы (4), где с пробегает полную систему вычетов.
.
Для простых чисел вида 
справедливость формулы (2) доказана. Пусть теперь 
, тогда символ Лежандра 
. Если с=0, то число решений каждого сравнения системы (4) равно 1, и вся система (4) имеет 
решение. Если , тогда и 
решений. Таким образом
.
Формула (2) справедлива и для случая . Теорема доказана.
Литература
1. , Шафаревич чисел. М.: Наука, 1985. – С. 504.
2. Степанов . М.: Знание, 1975 – С. 64.
Научный руководитель – к. ф.-м. н., доцент
