Государственное образовательное учреждение
"НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ"
Факультет Прикладной математики
Кафедра Алгебры и математической логики
"УТВЕРЖДАЮ"
Декан Физико-технического факультета
.............................
".....".....................................2006 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП
Направление подготовки: 140400 Техническая физика
Уровень подготовки – бакалавр техники и технологии.
Факультет Физико-технический
Курс 1, семестр 2
Лекции 34 часа
Практические занятия 16 часа
Самостоятельная работа 11 часа
Зачет 2 семестр
Всего часов 61 час
Новосибирск
2006
Рабочая программа составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению: 140400 Техническая физика утверждённым приказом Министерства образования Российской Федерации г.
Регистрационные номера ГОС: № 000 тех/бак., утверждён 14.04.2000 г.
Вузовский компонент. Дисциплина читается по решению Ученого совета ФТФ от 01.01.2001 г.
Шифр дисциплины по учебному плану: 18.2
Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры Алгебры и математической логики, протокол № , от.
Программу разработала
к. ф-м. н., доцент ___________
Заведующий кафедрой
д. ф.-м. н., профессор ________________
Ответственный за основную образовательную программу:
д. ф-м. н., профессор ______________
1. ТРЕБОВАНИЯ К КУРСУ
Основные требования к курсу определяются решением Ученого совета по направлению: 140400 Техническая физика (утв. 04.04.2001 г.)
Бакалавр по направлениям Техническая физика в соответствии с фундаментальной и специальной подготовкой может выполнять следующие виды деятельности:
- конструкторско-технологическая;
- научно-исследовательская.
Бакалавр по направлениям «Техническая физика» должен знать:
физические явления и процессы в лазерных устройствах и методы их математического описания.
Бакалавр подготовлен к продолжению образования:
- в магистратуре по направлению «Техническая физика»
-освоению в сокращенные сроки основных образовательных программ по
направлению «Техническая физика» для подготовки дипломированных специалистов.
2.ОСОБЕННОСТИ КУРСА
* Курс входит в число дисциплин, включённых в учебный план направления в соответствие с решением Ученого совета ФТФ от 01.01.2001 г.
* Курс предназначен для студентов первого курса Физико-технического факультета
дневного отделения направления Техническая физика.
* Основная цель курса для студентов: развитие логического и алгоритмического мышления, освоение математического аппарата, необходимого для успешного изучения смежных и специальных дисциплин, использование математических методов в конструкторско-технологической и научно-исследовательской деятельности.
* Ядро курса составляют основы: линейной алгебры, теории групп, теории представлений конечных групп.
* Для успешного изучения курса студенту необходимо, знать математику в объёме школьной программы и курс линейной алгебры, читаемый в первом семестре.
* Оценка знаний и умений студентов проводится с помощью аудиторных контрольных работ, расчетно-графической работы и итогового зачета.
3. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА
Студент будет иметь представление: | |
1 | о том, что такое группа, в частности, группа симметрий физической системы; |
2 | о применении теории групп для решения физических задач. |
Студент будет знать: | |
3 | основные понятия теории групп: определение группы, примеры групп, группы симметрий, определение фактор-группы, теоретико-групповые конструкции; |
4 | что такое матричное представление конкретной конечной группы; |
5 | что такое неприводимое представление и чему равно число неприводимых неэквивалентных представлений данной группы; |
6 | что такое характер представлений; |
7 | соотношение ортогональности на группе; |
8 | критерий неприводимости представления; |
9 | как произвольное представление получается из неприводимых представлений; |
Студент будет уметь: | |
10 | строить таблицы Кэли различных конечных групп симметрий малых порядков; |
11 | находить число неприводимых неэквивалентных представлений данной группы; |
12 | находить представление групп симметрий; |
13 | находить таблицы характеров для групп малых порядков; |
14 | студент овладеет символикой теории групп и теории представлений групп, математическими методами исследования и моделирования, сможет разобраться в текстах монографий и статей, использующих теорию представлений групп для решения физических задач; |
4. СТРУКТУРА КУРСА
 |
5. СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
1. Наименование тем лекционных занятий, их содержание и объём в часах
(34 часа).
Темы лекционных занятий | Часы | Ссылки на цели |
1.ВВЕДЕНИЕ | ||
1.1. Исторические замечания, общая постановка физической задачи, предмет теории представлений групп. 1.2. Примеры физических задач, решаемых с помощью теории групп. 1.3. Задача о малых колебаниях молекулы. | 4 | 1, 2 |
2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ | ||
2.1. Евклидовы и унитарные пространства. 2.2. Линейные операторы в евклидовых и унитарных про - странствах. 2.3. Матрицы линейных операторов. | 4 | 4, 5 |
3. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП | ||
3.1. Группа, инвариантная подгруппа, фактор-группа, классы сопряженных элементов, прямое произведение групп. 3.2 Изоморфизм и гомоморфизм групп. 3.3 Группы перестановок, группы вращений, точечные группы, группы трансляций. | 12 | 9 |
4.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУПП | ||
4.1 . Представление групп, матрицами, приводимость и неприводимость. 4.2 . Лемма Шура, теорема Бернсайда. 4.3 . Разложение представлений в сумму неприводимых представлений. 4.4 . Определение характера представления, соотношение ортогональности. 4.5 . Характеры неприводимых неэквивалентных представлений. | 4 | 4-9 |
5. НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП | ||
5.1. Представление группы вращений, группы трансляций, конечных точечных групп. | 10 | 12-15 |
5.2. Закон Бриллюэна. | ||
5.3. Теории групп в физике. |
2. Наименование тем практических занятий, их содержание и объём в часах
(16 часа)
Темы практических занятий | Часы | Ссылки на цели | Деятельность студента |
1. ЗАДАЧИ ИЗ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ | |||
1.1. Линейные, евклидовы, унитарные пространства. 1.2. Линейные операторы и их матрицы. | 6 | 4 | · Отличает унитарное пространство от евклидова, работает с аксиомами унитарного пространства; · Знакомиться с различными способами задания операторов, определяет линейность операторов; · Находит матрицы линейных операторов в различных базисах; |
2. ЗАДАЧИ ИЗ ТЕОРИИ ГРУПП | |||
2.1. Примеры групп, подгрупп, нормальных подгрупп. 2.2. Группы подстановок. 2.3. Матричные группы. | 6 | 3,10,11,14. | · Определяет, образует ли данное множество с данной операцией группу; · Строит таблицы Кэли; · Находит подгруппы, фактор-группы, классы сопряженных элементов; · Знакомится с техникой вычислений в группах; |
3. ЗАДАЧИ ИЗ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ | |||
3.1. Представления конкретных групп. 3.2. Нахождение характеров и таблиц характеров групп малых размерностей. | 4 | 4-9, 12 | · Занимается с представлениями конкретных групп; · Определяет неприводимость представлений; · Строит прямые суммы представлений; · Находит характеры представлений и строит таблицы характеров. |
Качество усвояемости материала студентом проверяется путем проведения аудиторных контрольных работ, проверки расчетно-графической работы, которую студент выполняет самостоятельно дома.
В конце семестра каждый студент сдает зачет.
6. ТЕМЫ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ И РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ.
1. Контрольная работа № 1. «Элементы линейной алгебры».
2. Контрольная работа № 2, «Элементы теории групп».
3. Расчетно-графическая работа, «Элементы теории представлений групп».
В качестве примера приводится образцы вариантов контрольных работ и расчетно-графической работы.
7. ЗАЧЕТ
Зачет является итоговой оценкой качества усвоения студентом пройденного материала за семестр. Зачет проходит в форме беседы со студентом и выяснением уровня его понимания пройденного материала. Для этого студенту предлагается билет, содержащий два теоретических вопроса и две задачи. Для получения
зачета требуется ответить на теоретические вопросы на уровне определений и решить хотя бы одну из задач. При необходимости задаются дополнительные вопросы по теории.
Приводим один из вариантов билета:
Билет № 8.
1. Понятие фактор-группы.
2. Лемма Шура.
3. Доказать, что dim(L1+L2)=dim L1+dim L2 – dim (L1∩L2).
4. Найти классы сопряженных элементов группы C3v.
8. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ивлева теории представлений групп. Новосибирск, 2002, 125 с.
2. Любарский групп и физика. М., Наука, 1986, 224 с.
3. Головина алгебра и некоторые ее приложения. М., Наука, 1985, 392 с.
4. Кудрявцева симметрии. Томск, 1987, 231 с.
5. , Мерзляков теории групп. М., Наука, 1982, 288 с.
6. еория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. М., Наука, 1969, 668 с.
7. -П. Линейные представления конечных групп. М., Мир, 1970, 132 с.
8. лементарное введение в абстрактную алгебру. М., Мир, 1979, 260 с.
9. еория групп в квантовой механике. М., Изд-во иностранной литературы, 1963, 522 с.
Образец варианта контрольной работы № 1.
1. Найти ортогональную проекцию g и ортогональную составляющую h вектора x на L: x=(10,-1,-3,3)
L=L((1,4,1,-1), (2,9,-1,1), (0,1,-3,1))
2. Найти матрицу перехода от базиса
{a}={a1,a2,a3} к базису {b}={b1,b2,b3} и координаты вектора x=2a1-a2+3a3 в базисе {b}.
3. Доказать, что оператор φ в каноническом базисе, найти соответствие числа и собственные векторы φ, определить, приводима ли матрица φ к диагональному виду.
φ (x)=(4x1+6x2-15x3, x1+3x2-5x3, x1+2x2-4x3)
4. Доказать, что ядро и образ сопряженного оператора φ* являются ортогональными дополнениями, соответственно, к образу и ядру оператора φ.
Образец варианта контрольной работы № 2.
1. Доказать, что если в группе G выполняется тождество x2=1, то G – абелева.
2. Доказать, что группа порядка 6 либо коммутативна, либо изоморфна S3.
3. В прямоугольной системе координат задан ромб с вершинами A(0,1), B(2,0), C(0,-1), D(-2,0). Найти матрицы ортогональных преобразований плоскости, переводящих ромб в себя.
4. Пусть A и B – нормальные подгруппы G и A∩B={e}. Доказать, что для любых a .. A, b…B ab=ba.
Образец варианта расчетно-графической работы.
1. Доказать, что следующее представление группы C3v неприводимо и убедиться в справедливости соотношений ортогональности для этого представления: ………………..
2. Найти регулярное представление циклической группы пятого порядка.
3. Составить таблицу Кэли для группы G порядка 8, все элементы которой, кроме единицы, имеют порядок 2, найти все ее подгруппы, выписать ее регулярное представление.
4.Найти фактор-группу аддитивной группы целых чисел, кратных 3 по подгруппе чисел, кратных 15.
5. Пусть G – группа всех движений трехмерного пространства, H – подгруппа параллельных переносов, K – подгруппа вращений вокруг данной точки O. Доказать, что:
а) H является нормальным делителем группы G, а K – нет;
б) фактор–групп G/H изоморфна K.
