Задача №1

Задача №1

Балка закреплена на двух опорах: шарнирно-неподвижной А и шарнирно-подвижной В. На балку в точке D действует сосредоточенная сила F1=3кН. На участке ВС действует равномерно распределенная нагрузка q1=8кН/м. В точке С к балке приложен изгибающий момент М2=5кН·м

Длины участков балки: а=60мм, в=40мм, с=65мм, d=70мм, e=40мм

Рис.1

Схема нагрузки балки

РЕШЕНИЕ

1. Распределенную нагрузку заменяем сосредоточенной силой

Q=qb=8×0,040=0,32кН

Место приложения этой силы – середина участка b.

2. Заменяем связи опор В и Е их реакциями. В плоской системе шарнирно подвижная опора Е даст реакцию REY, направленную перпендикулярно оси балки. Реакция в опоре В может иметь любое направление, поэтому для удобства расчетов заменяем ее на две составляющие проекции на координатные оси X и Y (RBX и RBY). Тогда схема нагрузки будет иметь вид:

Рис.2

Измененная схема нагружения балки

Определим реакции опор B и E. Для этого воспользуемся уравнениями статики.

Уравнения равновесия имеют вид:

ΣМВ=0

0,175REY-0,105F1-M2-0,02Q=0

Откуда:

ΣY=0

RВY-Q-F1+REY=0,

Откуда RBY=-REY+F1+Q=-30,4+3+0,32=-27,08кН

Знак «-.» говорит о том, что действительное направление реакции противоположно указанному на рисунке.

ΣX=0;

-RBХ=0; Откуда RBХ=0

Проверка:

ΣМA=0

0,06RBY-0,08Q-M2-0,165F1+0,235REY=

=0,06×(-27,08)-0,08×0,32-5-0,165×3+0,235×30,4=0

Т. е., условия равновесия балки выполняются

Задача 2

Для заданного бруса построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений.

Исходные данные для расчета:

- Модуль упругости при растяжении Е=2·105МПа

- Допускаемое напряжение на растяжение (сжатие) [σ]=100МПа

- Допускаемое перемещение свободного конца стержня [ΔL]=0,05мм

Рис.3

Схема бруса

РЕШЕНИЕ

1. Построение эпюры продольных сил.

Заданный брус имеет три участка нагружения. Границами участков являются места приложения внешних сил и изменения диаметров поперечного сечения.

Для построения эпюры продольных сил воспользуемся методом сечений

Участок 1, х<120 N=F1=9000H

Участок 2, 120<х<300 N=F1+F2=9000+2500=11500H

Участок 3, 300<х<390 N=F1+F2+F3=9000+2500-1000=10500H

Эпюра продольных сил представлена на Рис.4

2. Построение эпюры нормальных напряжений

При растяжении (сжатии) нормальные напряжения по площади поперечного сечения распределены равномерно и вычисляются по формуле:

Где N – продольная сила в рассматриваемом сечении, Н;

А – площадь поперечного сечения, мм2

Участок 1,

<[σ]=100МПа, т. е. условие прочности выполняется

Участок 2,

>[σ]=100МПа, т. е. условие прочности не выполняется, необходимо увеличить диаметр бруса.

Участок 3,

<[σ]=100МПа, т. е. условие прочности выполняется

Эпюра нормальных напряжений представлена на Рис.4

3. Построение эпюры перемещений строится от заделки. Перемещение сечения в заделке равно нулю.

Перемещение сечения В равно удлинению части АВ бруса, т. е.

Перемещение сечения С равно алгебраической сумме изменений длин участков АВ и ВС

Перемещение сечения Д равно алгебраической сумме изменений длин участков ВС и СД

>[ΔL]=0,05мм, следовательно условие жесткости не выполняется, требуется увеличить диаметр бруса

Рис.4

Эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений

Задача 2

Для заданного вала построить эпюры: крутящих моментов, максимальных касательных напряжений в поперечных сечениях вала и углов закручивания.

Проверить вал на прочность и жесткость

Исходные данные для расчета:

- Модуль упругости при сдвиге G =10·104Н/мм2

- Допускаемое напряжение при кручении [τ]=50МПа

- Допускаемый угол поворота свободного конца вала [φ]=1˚

Рис.3

Схема бруса

РЕШЕНИЕ

1. Построение эпюры крутящих моментов.

Заданный брус имеет три участка нагружения. Границами участков являются места приложения нагрузок и изменения диаметров поперечного сечения.

Для построения эпюры продольных сил воспользуемся методом сечений

Участок 1, х<120 М=Т1=90Hм

Участок 2, 120<х<300 М=Т1+Т2=90-20=70Нм

Участок 3, 300<х<390 М=Т1+Т2+Т3=90-20+12=82Hм

Эпюра продольных сил представлена на Рис.4

2. Построение эпюры максимальных касательных напряжений

Максимальные касательные напряжения определяются по формуле:

Где Т – крутящий момент;

WP – полярный момент сопротивления поперечного сечения

Для круга

Участок 1

>[τ]=50МПа, т. е. условие прочности не выполняется, необходимо увеличить диаметр бруса.

Участок 2

>[τ]=50МПа, т. е. условие прочности не выполняется, необходимо увеличить диаметр бруса.

Участок 3

>[τ]=50МПа, т. е. условие прочности не выполняется, необходимо увеличить диаметр бруса.

3. Построение эпюры углов закручивания эпюры углов закручивания строится от заделки. угол закручивания сечения в заделке равно нулю.

Угол закручивания сечения В равен

Полярный момент инерции поперечного сечения равен:

Тогда <[φ]=1˚, т. е. условие прочности выполняется.

Угол закручивания сечения С равно алгебраической сумме углов закручивания участков АВ и ВС

Полярный момент инерции поперечного сечения равен:

Тогда >[φ]=1˚, т. е. условие прочности не выполняется, необходимо увеличить диаметр бруса.

Угол закручивания сечения Д равно алгебраической сумме углов закручивания участков АС и СД

Полярный момент инерции поперечного сечения равен:

Тогда >[φ]=1˚, т. е. условие прочности не выполняется, необходимо увеличить диаметр бруса.

Рис.6

Эпюры крутящих моментов, максимальных касательных напряжений и углов

закручивания