О нелинейных колебаниях цилиндрических оболочек в сверхзвуковом потоке с учетом начальных неправильностей

2007 Прикладная механика Том 43, № 9

УДК 539.3

© 2007 ,

О нелинейных колебаниях цилиндрических оболочек в сверхзвуковом потоке с учетом начальных неправильностей.

Введение. На протяжении последних десятилетий существует повышенный интерес к проблемам динамики цилиндрических оболочек в сверхзвуковом потоке газа [1,3,9 и др.]. Однако большинство исследований посвящено тонкостенным цилиндрическим оболочкам идеальной формы, и лишь немногие из них затрагивают проблемы колебаний оболочек, имеющих начальные неправильности. Важнейшие результаты, относящиеся к динамике оболочек с начальными неправильностями, представлены в целом ряде обзорных статей, в частности, в публикациях Будянски и Хатчисона [12], Кубенко и Ковальчука [5] и других. Выделим также некоторые работы последних лет, относящиеся к нелинейной динамике оболочек, взаимодействующих с потоком жидкости [4,7]. Из работ, посвященных влиянию начальных несовершенств на динамическое поведение цилиндрических оболочек в сверхзвуковом потоке, можно выделить статьи Стирмана и Барра [11 и др.], в которых показано, что начальные прогибы, которые могут возникать в оболочке в процессе ее изготовления, заметно влияют на статические и динамические характеристики устойчивости оболочки. Было показано, что соответствующие коэффициенты запаса (по критическим нагрузкам и скоростям воздушного потока) при наличии начальных неправильностей могут быть уменьшены, даже если начальные прогибы будут порядка толщины оболочки. В книге Кубенко, Ковальчука и Краснопольской [6] получена зависимость частот колебаний от параметра волнообразования и граница флаттера при наличии начальных несовершенств оболочки. Показано, что начальные несовершенства в оболочке могут приводить к возбуждению форм колебаний с иными волновыми числами, чем в случае идеальной оболочки. Изучается волна, бегущая в окружном направлении, в неидеальной оболочке, находящейся в сверхзвуковом потоке.

Целью настоящей работы является исследование динамики неидеальной оболочки в сверхзвуковом потоке с использованием, прежде всего, концепции нелинейных нормальных форм колебаний, а также некоторых числовых процедур.

В §1 представлены исходные разрешающие уравнения динамики пологих оболочек (уравнения Доннелла), где учтено аэродинамическое давление, которое выбирается в соответствии с так называемой «поршневой теорией». В §2 задается форма волнообразования оболочки в потоке и проводится дискретизация исходной системы с использованием классической процедуры метода Бубнова-Галеркина. В §3 проведено сравнение границ флаттера, которые определяются как для идеальной оболочки, так и для оболочки с начальными неправильностями. Нелинейные нормальные формы, которые являются обобщением линейных нормальных колебаний, исследованы в §4. Показано, что такие формы колебаний существуют для идеальных оболочек и в докритической области, и в области флаттера. При этом можно обнаружить (как при помощи аналитических методов, так и с использованием численных процедур), что в области флаттера происходит переход от неустойчивого предельного цикла к режиму колебаний типа биений. Показано, что как в случае свободных колебаний, так и для оболочки в потоке существует только одна нормальная форма колебаний, которая определяется начальными неправильностями, если только амплитуды этих неправильностей не слишком велики. Рост начальных неправильностей приводит к сложному динамическому поведению оболочки.

§1. Постановка задачи. Основные уравнения.

В качестве исходных разрешающих уравнений оболочки используются хорошо известные уравнения динамики пологих оболочек [2,3,6 и др.]:

(1.1)

Здесь w0- начальная погибь, w1- дополнительный динамический нормальный прогиб (полный нормальный прогиб оболочки будет составлять w= w1+ w0); Φ - функция напряжений в серединной поверхности; x, y - продольная и окружная координаты срединной поверхности соответственно; L(w,Φ) - дифференциальный оператор вида

;

- усилия в осевом и окружном направлениях, обусловленные приложенной нагрузкой. В данной работе принимается, что . Здесь D - цилиндрическая жесткость оболочки; h - толщина; ρ - плотность материала; R - радиус оболочки; P - аэродинамическое давление, аппроксимируемое следующим выражением в соответствии с линейной «поршневой теорией» [6,10]:

, (1.2)

где χ- показатель политропы; P∞, a∞- давление и скорость в невозмущенном потоке; M∞- число Маха в невозмущенном воздушном потоке.

Если пользоваться гипотезой прямых нормалей, то для каждой точки контура необходимо удовлетворить четырем граничным условиям.

В данной работе рассматривается область оболочки длины L, лежащая между двумя опорами. В этом случае на концах участка оболочки (при x=0, x=L) должны быть удовлетворены следующие граничные условия:

(1.3)

Здесь Mx- изгибающий момент. Два других условия имеют вид:

, (1.4)

Более того, u, v,w должны быть непрерывны по окружной координате y.

§2. Выбор формы волнообразования. Переход к дискретной модели.

Точное аналитическое решение сформулированной задачи в общем случае пока не получено. Как и при решении задач нелинейной динамики оболочек в покоящейся среде, приходится прибегать к использованию различных приближенных подходов. Как правило, на первом этапе задача с распределенными параметрами сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Чаще всего для этого применяется метод Бубнова-Галеркина (реже - уравнения Лагранжа второго рода или аналог метода Ритца для неконсервативных задач).

Для расчета колебаний оболочки в потоке газа ограничимся учетом четырех форм изгибных колебаний [6]:

(2.1)

Здесь s=n/R, r=mπ/L, где n представляет собой число полных волн по окружности, m - число продольных полуволн по области оболочки длины L (здесь принимается, что m=1). Функция f* отражает вклад нелинейных факторов в динамический прогиб. Для ее определения используем условие непрерывности (замкнутости) окружных перемещений по контуру оболочки [2,3]:

(2.2)

В результате приходим к следующей зависимости

(2.3)

Следует отметить, что выбранная здесь четырехмодовая аппроксимация функции прогиба не является случайной. В предшествующих работах было показано [6], что учет меньшего числа форм изгибных колебаний не позволяет достоверно исследовать связанную систему «упругая оболочка – газовый поток».

Начальную погибь считаем распределенной по закону

, (2.4)

который соответствует первой форме изгибных колебаний.

С учетом выбранных разложений дополнительный динамический прогиб принимает следующий вид:

(2.5)

Применяя затем процедуру Бубнова-Галеркина к системе (1.1), получаем уравнения движения, связывающие неизвестные функции fi(t), i=1,2,3,4:

(2.6)

Здесь ; ; ; ; ;;

; ; ; ; ; ;

; ; ; ; ; ; ; ; ; .

Частоты собственных колебаний оболочки , , , не равны попарно друг другу из-за наличия начальных несовершенств:

;;

;;

;.

(2.7)

Zi - нелинейные относительно обобщенных перемещений fi и их производных функции (i=1,2,3,4), не содержащие начальных неправильностей. Явные выражения для этих функций здесь не представлены из-за их громоздкости.

Введем безразмерные переменные

; ; ; ; ; ; ;

при этом ; ; ; ;

; ; ; .

Переходя к новым переменным и отбрасывая при этом для упрощения записи индекс “*”, получим уравнения движения, аналогичные по виду системе (2.6), однако после обезразмеривания все коэффициенты будут иметь несколько иной физический смысл. В дальнейшем в статье рассматривается именно обезразмеренная система уравнений.

§3. Влияние начальных неправильностей на границу флаттера оболочки в потоке.

Рассмотрим сначала оболочку идеальной формы, т. е. при f10=f20=0. Для нахождения границы устойчивости положения равновесия линеаризованной системы (2.6) полагаем fi=Qiekt. Решая задачу на собственные значения

, (3.1)

и рассматривая все возможные случаи, когда их вещественная часть становится положительной, строим границу флаттера.

При численном расчете физические параметры были приняты постоянными, а именно, ρ=8905.37кг/м3, Е=2*1011Па, μ=0.35, χ=1.4, М∞=3, a∞=213м/с.

На рис. 1 приведена зависимость критического значения аэродинамического давления (при котором тривиальное положение равновесия становится неустойчивым и в системе возникают периодические колебания с большими амплитудами) от числа волн по окружности для случая различных соотношений между длиной L и радиусом R при фиксированном значении R/h=2000. Результаты, полученные для границ устойчивости, достаточно хорошо согласуются с результатами, полученными ранее [3,10 и др.]. Некоторые незначительные отличия можно объяснить использованием различных способов задания формы волнообразования, а также использованием различных физических параметров оболочки или параметров ее нагружения.

Рассмотрим теперь оболочку, имеющую начальные несовершенства. В этом случае аналитическое нахождение границы флаттера не даст представления о влиянии начальных несовершенств на границу флаттера, т. к. линеаризованная часть системы (2.6) для оболочки идеальной формы и оболочки с несовершенствами практически совпадают. Поэтому в данном случае граница находилась с помощью прямого интегрирования системы (2.6) с помощью метода Рунге-Кутта. При численных расчетах физические параметры были приняты такими же, как и для случая оболочки идеальной формы. Геометрические параметры, как и ранее, варьировались в широком диапазоне. Амплитуда начального прогиба не превосходила толщину оболочки. На рис. 2 показаны границы флаттера, полученные для идеальной оболочки и оболочки, имеющей начальные неправильности (f10=1, f20=0.5, значения начальных амплитуд отнесены к толщине оболочки). Как показывают численные расчеты, в том числе и представленные на рис.2, начальные несовершенства влияют на границу возникновения флаттера, при этом являясь своего рода стабилизирующим фактором, так как их наличие обуславливает некоторое повышение границы появления флаттера. Этот вывод хорошо согласуется с результатами эксперимента [9].

§4. Нелинейные нормальные формы колебаний оболочки.

4.1. Нелинейные нормальные формы колебаний идеальной оболочки в потоке.

Нелинейные нормальные формы колебаний – это такие синхронные колебательные режимы движения нелинейных систем, когда все позиционные координаты являются однозначными функциями одной из них [8,13]. Нелинейные нормальные формы колебаний представляют собой обобщение нормальных (главных) колебаний линейных систем.

В случае линеаризованной системы (2.6), т. е. при Zi=0, выделяется форма колебаний вида f1=f2 , f3=f4. Связь между координатами f1 и f3 на этой форме колебаний представляет собой (в области флаттера) некую замкнутую овалоподобную траекторию на плоскости переменных f1 , f3. При докритических (дофлаттерных) значениях давления набегающего потока движение системы будет носить затухающий характер, при закритических наступает динамическая неустойчивость.

В случае, когда нелинейные члены Zi учтены, в системе также выделяются формы колебаний вида f1=f2, и f3=f4 . Связь между координатами f1 и f3 в виде некую замкнутой овалоподобной траектории в области флаттера не сохраняется. Причина этого в том, что, как показывают численные расчеты, колебания в области флаттера перестают носить периодический характер. А именно, на достаточно большом промежутке времени возникающий предельный цикл становится неустойчивым и в системе реализуется переход от этого предельного цикла к колебаниям типа биений. Этот режим колебаний представлен на рис. 3. Аналогичные режимы колебаний были экспериментально получены Стирманом [9], причем колебания такого типа наблюдались для рассмотренной цилиндрической оболочки на протяжении достаточно продолжительного промежутка времени.

Для исследования нелинейной системы с целью выявления в ней периодических режимов был использован также метод гармонического баланса. Используя для понижения числа степеней свободы исследуемой системы (а следовательно, и упрощения аналитических расчетов) нормальную форму f1=f2, f3=f4 и заново проводя дискретизацию, будем иметь систему двух нелинейных дифференциальных уравнений:

, (4.1)

Здесь Ψi - нелинейные относительно обобщенных перемещений fi и их производных функции (i=1,2), ωi, α, β – постоянные, введенные ранее.

В соответствие с известной процедурой метода гармонического баланса в качестве аппроксимирующих выражений для неизвестных функций fi используем следующие:

, (4.2)

Подставляя (4.2) в систему (4.1) и принимая во внимание только первые гармоники, получим систему четырех нелинейных алгебраических уравнений относительно искомых амплитуд ai (i=1,2,3,4) и частоты ω:

, (4.3)

где Ai- нелинейные относительно искомых амплитуд ai функции (i=1,2,3,4).

Система (4.3) решалась численно с помощью метода Гаусса-Ньютона. На рис. 4 представлена амплитудно-частотная характеристика для одной из искомых амплитуд, а именно . Близость полученных ветвей свидетельствует о том, что решение носит непериодический характер, а именно, в системе реализуется режим условно-периодических колебаний с двумя близкими частотами.

Нелинейные уравнения движения (2.6) решались также с помощью программного пакета AUTO [13], предназначенного для отыскания периодических решений путем продолжения решения по параметру и отыскания бифуркаций в обыкновенных дифференциальных уравнениях. Этот пакет не может определять поверхности, выходящие из точки бифуркации, но может находить ветви. Поэтому в кратные линейные частоты сопряженных форм вводились возмущения порядка 0.3%. Эти возмущения слишком малы, чтобы отразиться на свойствах системы, но в то же время это делает возможным использование пакета AUTO. В качестве переменного параметра системы было выбрано значение давления в невозмущенном потоке P∞. На рис. 5 приведены результаты расчетов с помощью указанного пакета в плоскости амплитуда-давление для f1, f2.

Проведенные расчеты показывают, что устойчивыми (представлены сплошной линией на рис. 5) являются только тривиальные решения системы (2.6), а ответвляющиеся здесь вследствие бифуркации Хопфа нетривиальные периодические решения (представлены штрихованной линией) неустойчивы. Это полностью соответствует результатам, полученным с помощью прямого численного интегрирования, а также методом гармонического баланса, которые указывают на появление в системе режима биений. Важным представляется тот факт, что амплитуды режима биений примерно вдвое превышают амплитуды колебаний неустойчивого предельного цикла. Это существенно, в частности, для возможных практических приложений представленных результатов.

4.2. Влияние начальных неправильностей на нелинейные нормальные формы свободных колебаний оболочки.

Для исследования взаимодействия между сопряженными формами с учетом начальных неправильностей представим динамический прогиб в следующем виде:

, (4.4)

Здесь, как и ранее, функция f* отражает вклад нелинейных факторов в динамический прогиб. Для ее определения используем условие нерастяжимости срединной поверхности оболочки вида (2.2). В результате будем иметь:

(4.5)

Выражение для начальной погиби аппроксимируем следующим выражением, отвечающим основным сопряженным формам:

(4.6)

где f10,f20 - амплитуды гармоник начальной погиби.

Применяя затем метод Бубнова-Галеркина к системе (1.1), получаем систему нелинейных уравнений движения, связывающих неизвестные функции f1(t) и f2(t), которая представлена в работе [6].

Введем безразмерные переменные таким же образом, как это было сделано в §2. Однако здесь вместо величины в заменах присутствует величина . В новых переменных (индекс “*” при этом отбрасывается), будем иметь следующие уравнения:

(4.7)

Рассматривая случай малых начальных неправильностей, можно предположить, что траектории нелинейных нормальных колебаний в конфигурационном пространстве близки к прямолинейным. Это определяется тем, что в случае, когда начальные неправильности равны нулю, все траектории в конфигурационном пространстве соответствующей предельной системы являются прямолинейными, и число этих форм колебаний будет равно бесконечности. Поэтому целесообразно в данном случае использовать прямолинейную аппроксимацию траекторий нормальных колебаний:

(4.8)

Для нахождения модальной постоянной k следует подставить соотношение (4.8) в уравнения (4.7). В результате мы получим уравнение совместности, которое представляет собой алгебраическое уравнение относительно k. Заменяя затем периодическую переменную f1 на ее амплитудное значение X, для нахождения k будем иметь следующее алгебраическое уравнение:

(4.9)

где .

Выбирая различные порядки амплитуд и начальных неправильностей, проанализируем некоторые важнейшие случаи:

I.  Линейный предел. X→0. В этом случае из уравнения (4.9) мы будем иметь только одну предельную нормальную форму колебаний, для которой .

II.  Симметричный случай. f10=f20. В этом случае , , и из уравнения (4.10) будем иметь

(4.10)

Принимая во внимание значения коэффициентов βi, получим, что одним из корней уравнения всегда будет k=1. Остальные два могут быть найдены путем численного решения данного уравнения.

III. Предельный ассиметричный случай, f20=0. В этом случае . Одним из корней уравнения (4.10) всегда будет k=0. Два других будут корнями уравнения .

IV. Малые начальные неправильности. В пределе (f10,f20→0) будем иметь: и . Предельная система допускает нелинейные нормальные формы вида (4.9) для любых k. Если же fi0 малы, но не равны нулю, то уравнение (4.10) всегда будет иметь корень, близкий к .

Как показывают аналитические и численные расчеты, проведенные в широком диапазоне параметров системы, в системе реализуется только одна устойчивая нормальная форма колебаний, траектория которой близка к прямолинейной, причем угловой коэффициент траектории близок к .

4.3. Совместное влияние потока и начальных неправильностей на нелинейные нормальные формы колебаний оболочки.

Рассмотрим теперь случай, когда в системе (2.6) в рассмотрение принимаются все члены, включая те, которые содержат амплитуды начальных неправильностей. На рис. 6 представлены режимы колебаний во времени (типа биений) а также траектории нормальных форм колебаний для двух различных отношений начальных неправильностей f10 ,f20 (первая тройка графиков относится к случаю k=0.5, вторая тройка – к случаю k=5). Как следует из результатов многочисленных числовых расчетов, в системе, как и в случае, когда аэродинамическая нагрузка отсутствует (п.4.2), существуют нелинейные нормальные формы колебаний, траектории которых в конфигурационном пространстве близки к прямолинейным вида (4.8). Модальные постоянные форм колебаний f2=kf1 и f4=kf3 в этом случае определяются отношением амплитуд начальных неправильностей, то есть, . Как и в случае идеальной оболочки в потоке, для линеаризованной системы связь между координатами f1 и f3 на этой форме колебаний представляет собой (в области флаттера) некую замкнутую овалоподобную траекторию. В нелинейной же системе, как и в идеальной оболочке (п. 4.1) эта овалоподобная траектория разрушается. Возникающий предельный цикл является неустойчивым и в системе реализуется переход от этого предельного цикла к колебаниям типа биений с амплитудой, примерно вдвое большей, чем амплитуда предельного цикла колебаний.

Таким образом, в области флаттера для оболочки с начальными несовершенствами наблюдается форма колебаний такого же типа, как и для неидеальной оболочки при отсутствии аэродинамического давления. При этом режим колебаний во времени аналогичен тому, какой устанавливается в идеальной оболочке в потоке.

Однако такие режимы колебаний характерны только для не слишком больших величин начальных неправильностей. На рис. 7 представлено динамическое поведение системы при таком выборе амплитуд начальных неправильностях: f10=3, f20=1. Как видно из рисунка, форма колебаний уже не сохраняется. К сожалению, точную границу перехода от регулярной динамики оболочки к хаотическим колебаниям получить не удалось. Однако многочисленные числовые эксперименты показывают, что если величины амплитуд начальных неправильностей по порядку величины превышают толщину оболочки, типичным является именно сложное динамическое поведение оболочки, которое напоминает режим хаотических колебаний.

Заключение. Результаты исследования динамики неидеальной оболочки в сверхзвуковом потоке позволяют сделать следующие выводы. Наличие начальных неправильностей несколько повышает границу появления динамической неустойчивости оболочки в потоке. В области флаттера при не слишком больших значениях амплитуд начальных неправильностей (не превышающих толщину оболочки) наблюдаются режимы движения в виде нелинейных нормальных колебаний (обобщение нормальных колебаний линейных систем). При этом траектории нормальных колебаний в конфигурационном пространстве, как и в случае идеальной оболочки, для не слишком больших значений начальных неправильностей, близки к прямолинейным. Угол наклона такой прямолинейной траектории полностью определяется отношением амплитуд начальных неправильностей.

1.  . Нестационарный флаттер пластин и пологих оболочек в потоке газа. // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение.- 1962. - №3, С. 106-114.

2.  . Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972.-432 с.

3.  . Оболочки в потоке жидкости и газа: Задачи аэроупругости. М.: Наука, 1976.– 410 с.

4.  . О расчете нелинейных колебаний цилиндрических оболочек при взаимодействии с протекающей жидкостью // Прикладная механика. – 2005. – 41, № 4. – С. 75 – 84

5.  , . Влияние начальных несовершенств геометрического характера на колебания и динамическую неустойчивость упругих оболочек // Прикладная механика. – 2004. – 40, № 8. – С. 26 – 65.

6.  , , . Нелинейное взаимодействие форм изгибных колебаний цилиндрических оболочек. - К.: Наукова думка, 1984. – 220 с.

7.  , , . О свободных нелинейных колебаниях заполненных жидкостью цилиндрических оболочек с кратными собственными частотами // Прикладная механика. – 2005. – 41, № 10. – С. 127 – 138

8.  , , . Метод нормальных колебаний для существенно нелинейных систем. - М.: Наука, 1989.

9.  Тонкостенные оболочечные конструкции: (Пер. с англ.) / Под ред. . М.: Машиностроение. – M.: Машиностроение, 1980.- 608 с.

10.  Amabili M., Pellicano F. Nonlinear supersonic flatter of circular cylindrical shells // AIAA Journal. - 2001. – 39, N 4. - P. 564-572.

11.  Barr G. W., Stearman R. O. Aeroelastic stability characteristics of cylindrical shells considering imperfections and edge constraint // AIAA J. – 1967.- 7.- P. 912 – 919.

12.  Budiansky B., Hutchinson J. W. Dynamic buckling of imperfect-sensitive structures // Appl. Mech.: Springer Verlag. - 1966. - P. 636 – 657.

13.  Doedel E. J., Champneys A. R., Fairgrieve T. F., Kuznetsov Y. A., Sandstede B., Wang X. AUTO 97: Continuation and Bifurcation Sofware for Ordinary Differential Equations (with HomCont).- Montreal, QC, Canada, 1998.

14.  Olson M. D., Fung Y. C. Comparing theory and experiment for the supersonic flutter of circular shell // Ibid.5, - 1967. – 10. - Р. 1849-1856.

15.  Vakakis A. F., Manevitch L. I., Mikhlin Yu. V., Pilipchuk V. N., Zevin A. A. Normal Modes and Localizations in Nonlinear Systems. - Wiley, New York, 1996.

Национальный Технический Университет «ХПИ»

Харьков (Украина) Поступила 20.02.2006