УДК 513

КОНФИГУРАЦИЯ Т6 КОМПЛЕКСОВ В СИПЛЕКТИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Кафедра алгебры и геометрии КемГУ

*****@***ru

По аналогии с [1], мы назовем конфигурацией Т6 такую четверку комплексов, каждая пара которой есть пара Т [2]. В статье показывается, что с каждым комплексом в симплектическом пространстве инвариантно связана конфигурация Т6.

Пусть дано симплектическое пространство, то есть проективное пространство, в котором задан «абсолют» - линейный комплекс.

Обозначим A1, A2, A3, A4 - вершины наиболее общего подвижного репера, деривационные формулы которого имеют вид:

, (1)

где - формы Пфаффа, удовлетворяющие уравнениям структуры проективного пространства.

Выбирая вершины репера так, что прямые A1A2 и A3A4 сопряжены в нуль-системе «абсолюта» - линейного комплекс, и нормируя вершины репера нужным образом, уравнение этого линейного комплекса зададим в виде

, (2)

где - – Плюккеровы координаты прямой.

Так как линейный комплекс (2) неподвижен, то отсюда следует что

; ; ; ; ; .

(3)

Равенства (3) вместе с уравнениями структуры проективного пространства образуют уравнения структуры симплектического пространства.

Пусть теперь в симплектическом пространстве задан комплекс. Поместим точки A1 и A2 на прямую комплекса, а точки A3 и A4 – так, что подвижной репер будет нормальным [3] для данного комплекса. В этом случае

. (4)

Простым вычислением с использованием (3) и (4) найдем, что пучками линейным касательных комплексов для (A1A2) и (A3A4) будут, соответственно, пучки

; (5)

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

. (6)

В самом деле, из (5) и (6) мы видим, что при α=β=0 получается общий касательный линейный комплекс

. (7)

Отсюда следует [3], что пара комплексов (A1A2) и (A3A4) описывает пару Т.

Линейные комплексы (2) и (7) определяют пучок, среди которых находятся два специальных с осями M1M2 и M3M4 , причем точками Mi (i=1,2,3,4) мы можем и будем считать точки

,,,. (8)

Прямые M1M2 и M3M4 назовем присоединенными прямыми. Оказывается, что пара комплексов, описываемая присоединенными прямыми, образует пару Т.

Действительно, найдем пучок касательных линейчатых комплексов к комплексу (M1M2). Он имеет вид

. (9)

Пучок касательных линейных комплексов к комплексу (M3M4) имеет вид

. (10)

Из (6) и (7) мы видим, что у пары комплексов (M1M2) и (M3M4) существует общий касательный линейный комплекс, то есть пара этих комплексов является парой Т.

Теорема. Четверка комплексов (A1A2),(A3A4),(M1M2),(M3M4) образуют Т6 конфигурацию комплексов.

Доказательство. Для доказательства нам следует установить, что пары комплексов (A1A2) и (M1M2), (A1A2) и (M3M4),(A3A4)и (M1M2),(A3A4)и (M3M4) образуют пары Т, для чего достаточно указать общие для этих пар касательные линейные комплексы. Это легко устанавливается из равенств (5), (6), (9), (10).

Например, переписав (9) в виде, мы видим, что в этом пучке находится линейный комплекс , но он же находится в пучке (5) при. Остальные случаи проверяются аналогично.

Литература

1.  Варначева Т6 из двух пар конфигураций взаимных прямых// Уч. зап. Орехово-Зуевского пед. ин-та, сб. работ по геом. И матем. анализу. Т.23, вып.3, 1964, с.50-54.

2.  Акивис Т комплексов. – Матем. сб.,1950, т.27, вып.3, с.351-378.

3.  Кованцов комплексов. – Киев: Изд-во Киев. ун-та, 1963, с.292.

Научный руководитель – к. ф.-м. н., доцент

.