Факультативные занятия в 7 классе по теме «Вокруг модуля»

учитель математики
специализированной школы №5
г. Мариуполя

Факультативные занятия в 7 классе по теме «Вокруг модуля»

Занятие 1

Тема: Что такое модуль?

Цель: дать определение модуля, сформулировать свойство модуля; дать геометрическую интерпретацию модуля; научить решать простейшие неравенства, содержащие модуль.

I.  Изучение нового материала.

Определение. Абсолютной величиной или модулем действительного числа а, называется: само это число, если а – положительное число; нуль, если число а – нуль, число противоположное числу а, если а – отрицательное число.

Это определение можно записать в виде:

Примеры: |1| = 1; |- 1| = 1; |0| = 0; ; .

Геометрически модуль числа а выражает расстояние от точки числовой оси с абсциссой а до начала отсчета 0. Действительно, если а > 0, то соответствующая точка а числовой оси лежит справа от точки 0 на расстоянии а = |a|. Если а < 0, то точка а лежит на числовой оси слева от точки 0 на расстоянии – а = |a|.

Используя геометрическое содержание модуля действительного числа, можно записать такие свойства:

1.  а = |a|

2.  Если , то .

Неравенство означает, что точка а с абсциссой а находится от начала отсчета на расстоянии, не большем b, т. е. это точка числовой оси, абсциссы которых, удовлетворяют неравенству .

3.  Если , то или , или .

Примеры.

1.  Решить неравенство .

Решение. По свойству 2 имеем .

Ответ: [- 5; 5]

2.  Решить неравенство .

Решение. По свойству 2 имеем или .

Ответ: (- 1; 7)

3.  Решить неравенство .

Решение. По свойству 3 имеем или .

Ответ:

Для свойств 2 и 3 справедливы обратные утверждения, а именно:

2*. Если , то .

3*. Если или , то .

Из определения операций над действительными числами вытекают следующие свойства модуля:

а) ; в) ;

б) ; г) .

Докажем свойства а) и г).

а) если а и b имеют одинаковые знаки, то модуль их суммы равен сумме их модулей. В этом случае . Если же а и b имеют разные знаки, то модуль числа а + b равен разности большего и меньшего из этих модулей. В этом случае . Наконец, если хотя бы одно из чисел а или b равно 0, равенство очевидно. Таким образом, во всех случаях имеем: .

б) запишем число а так . На основании свойства а) имеем: . Отсюда .

II. Решение упражнений.

1.  Запишите с помощью знака модуля следующие неравенства:

а) в) д)

б) г) е) .

Ответы: а) б) в) г) д) е)

2.  Решите неравенства:

а) в) д)

б) г) е)

Ответы: а) ( -1; 9); б) в) г) д)  е) .

Занятие 2

Тема: Функция и ее график.

Цель: рассмотреть построение графика функции ; познакомить с геометрическими преобразованиями графиков.

I.  Изучение нового материала.

Рассмотрим функцию .

Область определения функции: х – любое число.

Область значения функции: .

Если х = 0, то у = 0.

На промежутке большему значению х соответствует меньшее значение у, значит, функция убывает на , на промежутке большему значению х соответствует большее значение у, значит, функция возрастает на .

Следовательно, график функции расположен в верхней полуплоскости и проходит через начало координат.

График функции строится следующим образом:

1.  Строим график функции у = х.

2.  Часть графика, расположенную ниже оси абсцисс, отображаем симметрично оси Ох.

 

Познакомимся с некоторыми видами геометрических преобразований графиков.

Пусть известен вид графика функции , тогда

а) график функции получается из данного симметрией относительно оси абсцисс;

б) график функции получается из данного сдвигом на а единиц вдоль оси ординат;

в) график функции получается из данного сдвигом на - а единиц вдоль оси ординат;

г) график функции строится следующим образом: все участки графика функции , находящиеся не ниже оси абсцисс, остаются без изменения, все участки, находящиеся ниже, отображаются симметрично оси абсцисс.

Примеры.

1)  Построить график функции .

Решение.

I способ.

Построим график функции . Отобразим часть графика, расположенную ниже оси абсцисс, в верхнюю полуплоскость.

II способ.

Построим график функции . Сдвинем его на 3 единицы влево вдоль оси Ох.

II.  Решение упражнений.

Постройте графики функций: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Занятие 3 - 5

Тема: Знакомство с уравнениями, содержащими модуль.

Цель: научить решать уравнения, содержащие модуль, графическим способом на основании определения модуля числа и методом интервалов.

I.  Изучение нового материала.

1) Решить уравнение .

Решение.

I способ.

На основании модуля числа имеем:

Получим: х – 3 = 7 или 3 – х = 7,

х = 10 х = - 4

Ответ: - 4; 10

II способ (графический)

Уравнение можно записать в виде системы двух уравнений:

Построим графики и .

Абсциссы точек пересечения этих графиков являются решением системы уравнений а, следовательно, и решением исходного уравнения.

 

Ответ: - 4; 10

2)  Решить уравнение .

Решение.

Решим уравнения:

3х – 1 = 2х + 3 и 3х – 1 = - (2х + 3)

х = 4 х =

Ответ: 4;

Следовательно, чтобы решить уравнения вида , надо решить уравнения и , после чего объединить их корни.

3)  Решить уравнение .

Решение.

Решаем уравнение 3х – 1 = 7х + 11, получаем корень х = - 3. далее решаем уравнение – (3х – 1) = 7х + 11, получаем корень х = -1. Подставляем эти корни в правую часть уравнения и видим, что она неотрицательна при х = -1. Значит, х = - 1.

Ответ: - 1.

Следовательно, если уравнение имеет вид , то надо решить уравнения и , после чего отобрать из полученных корней те, при которых .

4)  Решить уравнение .

Решение.

Решим уравнение методом разбиения на промежутки (третий способ).

Найдем нули подмодульных выражений:

х – 1 = 0, х – 2 = 0

х = 1, х = 2.

Эти числа разбивают числовую прямую на три промежутка. Решим уравнение на каждом из этих промежутков, раскрывая модули с учетом знаков подмодульных выражений.

 

1.

2. не входит в указанный промежуток

3. х - любое

Следовательно, решение уравнения .

Ответ:

II.  Решение упражнений.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

III. Упражнения с параметром.

Определить количество корней уравнения в зависимости от параметра.

Условия:	Ответы:
1.	а) при а = 10, х = 0 единственный корень; б) при а < 10, 2 корня, х1 = 10 – а, х2 = а – 10; в) при а > 10, корней нет.
2.	а) при а = - 4, х = 0 единственный корень; б) при а > -4, 2 корня, х1 = 4 + а, х2 = - 4 - а; в) при а < - 4, корней нет.
3.	а) при b = 0, х = 0 единственный корень; б) при b > 0, 2 корня, х1 = 7,6b, х2 = -7,6b; в) при b < 0, корней нет.
4.	а) при k ≥ -2,6 2 корня, х1 = 6 + k, х2 = 0,8 - k; б) при а < - 2,6, корней нет.

Список литературы

1.  . Математика. Учебник-собеседник для 5-6 класса. Москва. «Просвещение» , 1989

2.  . Алгебра и начала анализа. 10 класс. Харьков. Издательство «Мир детства».

3.  . Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 кл. Москва «Просвещение», 1991