Исследование бифуркаций тривиального решения системы двух связанных осцилляторов

УДК 519.6

ИССЛЕДОВАНИЕ БИФУРКАЦИЙ ТРИВИАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ ДВУХ СВЯЗАННЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ

Кафедра дифференциальных уравнений

ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»

[e-mail]

Рассматривается система дифференциальных уравнений, содержащая положительные параметры α, β, γ, δ, μ:

Численно исследуются бифуркации стационарных решений системы (1) при фиксированных значениях параметров: β =9, γ=87, δ=0.3 и вариации α, μ. Очевидно, что система (1) при всех значениях параметров имеет тривиальную точку покоя. Помимо нее, при различных значениях параметров может существовать до восьми нетривиальных точек покоя. Бифуркации тривиального решения системы исследуются построением собственных значений матрицы J правых частей системы, линеаризованных в окрестности тривиального решения. Качественное разбиение плоскости переменных α, μ, отражающее характеристики четырех собственных значений матрицы J, приведено на Рис.1. Переход через линию на Рис.1 означает либо изменение количества вещественных собственных значений, либо изменение знака вещественной части по крайней мере одного собственного значения. Линии «A» и «B» Рис.1 соответствуют переходу по крайней мере одного вещественного собственного числа матрицы J через нулевое значение, то есть ответвлениям новых стационарных решений от тривиального [1]. Область с темной заливкой на рисунке соответствует четырем вещественным собственным значениям, одно из которых отрицательно, а остальные положительны. Область со светлой заливкой соответствует значениям параметров, при которых матрица J имеет две пары комплексно сопряженных собственных значений. Вещественные части этих собственных значений положительны во всей области, кроме секции в нижнем левом углу, где одна из пар имеет отрицательную вещественную часть. Область без заливки соответствует значениям параметров, при которых матрица J имеет пару комплексно сопряженных собственных чисел с положительной вещественной частью и два вещественных собственных числа, знаки которых изображены на Рис1. Численный анализ показывает, что при изменении параметров в окрестности точки «P» бифуркацинной диаграммы, помимо ответвления точек покоя от тривиального решения, происходят и более сложные бифуркации, такие как рождение предельных циклов, инвариантных торов.

На Рис.2 изображены проекции на пространство переменных y1, y2, y3 устойчивых предельных циклов системы (1) при значениях параметра α=20, 27, 30, 31, и значении параметра μ=0.02, построенных методом стабилизации. Как видно из рисунка, цикл близок к плоскому, и при увеличении параметра α его диаметр сначала уменьшается, а затем цикл переходит в ортогональную плоскость, и его диаметр начинает увеличиваться. Это перестроение в данном случае является бифуркацией цикла, в ходе которой происходит рождение устойчивого инвариантного тора.

Литература

1. Эроусмит. Д. Обыкновенные дифференциальные уравнения: качественная теория с приложениями / Д. Эроусмит, К. Плейс // М.: Мир. - 1986. - 242c.

Научный руководитель – канд. физ.-мат. наук, доцент