Тема: Двухфакторный дисперсионный анализ

ЛЕКЦИЯ 5

ТЕМА: Двухфакторный дисперсионный анализ

Если в дисперсионный анализ включают несколько факторов, влияющих на результативный признак, то они должны быть независимыми друг от друга. Рассмотрим обработку данных с двумя факторами, каждый из которых делится на две группы. Для этого составляем комбинационный дисперсионный комплекс (табл. 2.4). Каждый фактор характеризуется тремя наблюдениями (повторностями). Аналогичную схему можно использовать для двухфакторного анализа с большим числом групп и повторностей в каждом факторе.

Двухфакторный дисперсионный анализ можно представить в виде равенства:

Θ = Θ1 + Θ2 + Θ3+ Θ4+ Θ5, (2.4)

где Θ – общая сумма квадратов; Θ1, Θ2 – сумма квадратов отклонений для фактора I и II соответственно; Θ3 – сумма квадратов отклонений, возникающих при взаимодействии факторов I и II; Θ4 – сумма квадратов отклонений по повторностям; Θ5 – остаточная сумма квадратов отклонений неучтенных факторов.

Следует определить влияние метеорологических условий (фактор I) и мелиорации (фактор II) на урожай биомассы трав в агроландшафте.

Таблица 2.4

Двухфакторный дисперсионный комплекс

Повторность опыта по фактору II	Биомасса, кг/м3			My
Группы по фактору I
1982 г. (сухой)	1984 г. (влажный)
Группа по фактору I (неосушенный агроландшафт)
Первая
Вторая
Третья
				961	5,16

Группа по фактору II (осушенный агроландшафт)
Первая
Вторая
Третья
				784	4,66

					Мобщ = =4,90
	729	1024
Mx	4,50	5,33

При обработке данных исходной информации (см. табл. 2.4) порядок расчета не отличается от описанного выше алгоритма однофакторного дисперсионного комплекса. Дальнейшие расчеты проводятся в следующем порядке.

Общую сумму квадратов отклонений находим по формуле

где N – общий объем выборки.

Сумма квадратов отклонений по фактору I вычисляется по формуле

где пх – число групп фактора I (пх = 2); kх – число вариант в каждой отдельной сумме (kх = 6).

Сумма квадратов отклонений по фактору II вычисляется аналогично определению суммы квадратов отклонений по фактору I:

Сумма квадратов отклонений, вызываемых взаимодействием факторов I и II, определяется следующим образом:

, (2.5)

где – сумма квадратов сумм значений вариант по группам выборки комбинационной таблицы (162 + 152 + 112 + 172 = 891); пz – число сумм вариант по группам; kz – число слагаемых вариант в каждой группе выборки.

Подставляем данные в формулу (2.5):

Θ3 = [891 – (59)2 : 4] : 3 – 2,08 – 0,75 = 4,08

Сумма квадратов отклонений по повторностям Θ4 определяется по формуле (2.6) путем подстановки конкретных данных задачи:

, (2.6)

где пх, у – число сумм по повторностям (по 3); kх, у – число слагаемых в каждой сумме (равное 4); – сумма квадратов сумм исходных данных по повторностям фактора I сверху вниз: [(5+4) + (3+5)]2+ [(6+5) + (4+6)]2 + [(5+6) + + (4+6)]2 = 1171. Подставив данные в исходную формулу (2.6), получим

Θ4 = [1171 – (59)2 : 3] : 4 = 2,67

Сумму квадратов отклонений по остаточному варьированию определяем из равенства (2.4):

Θ4 = 10,92 – 2,08 – 0,75 – 4,08 – 2,67 = 1,14.

Затем вычисляем число степеней свободы: для Θ ν = N – 1 = 12 – 1 = =11; для Θ1 и Θ2 число степеней свободы равно числу градаций фактора минус единица: ν1 = n1 – 1 = 2 – 1 = 1; ν2 = n2 – 1 = 2 – 1 = 1; для Θ3 ν3 = ν1 ∙ ν2 = 1 ∙ 1 = 1; для Θ4 число степеней свободы равно числу повторно­стей минус единица: ν4 = 3 – 1 = 2; для Θ5 этот показатель определяется следующим образом: ν5 = ν – ν1 – ν2 – ν3 – ν4 = 11 – 1 – 1 – 1 – 2 = 6.

Показатели дисперсии (табл. 2.5) вычисляются путем деления значений сумм квадратов отклонений на соответствующие значения степеней свободы (например, 10,92:11 = 0,99).

Фактический критерий Фишера определяется путем деления каждой из величин дисперсий на значение остаточной. Критическое значение критерия Фишера находим в прил. 5 на пересечении значений большей и меньшей степеней свободы, которые устанавливаем по величине сравниваемых дисперсий (см. табл. 2.5). Например, по фактору II отношение дисперсий равно Fф = 3,94. В данном случае большей будет дисперсия по фактору II σ2=0,75 с числом степеней свободы ν = 1, для меньшей величины остаточной дисперсии σ2 = 0,19 и ν = 6. Пересечение ν =1 и ν = 6 дает величину Fт = 5,99 для Р = 0,95. Если Fф > Fт, то действие данного фактора признается существенным, при Fф < Fт – несущественным.

Таблица 2.5

Результаты двухфакторного дисперсионного анализа

Варьирование данных	Сумма квадратов отклонений Θ	Степень свободы ν	Дисперсия σ2	Критерий Фишера
Fф	Fт
Общее по опыту	10,92	11	0,99	5,21	4,31
По фактору I	2,08	1	2,08	10,94	5,99
По фактору II	0,75	1	0,75	3,94	5,99
По взаимодействию факторов I и II	4,08	1	4,08	21,47	5,99
По повторностям	2,67	2	1,33	7,00	5,14
Остаточное	1,14	6	0,19	1,00	–

Исходя из анализа критерия Фишера можно заключить, что влияние исследуемых параметров на биомассу признается существенным в целом по опыту, по фактору I, по взаимодействию факторов и по повторностям, т. е. во всех случаях Fф > Fт. Действие фактора II на объект не доказано (Fф < Fт).

Оценку результатов эксперимента можно сделать по критериям НСР и Стьюдента. Для вычисления НСР и t находим ошибку среднего арифметического тМ всего опыта и ошибку разности средних тd по следующим формулам:

,

где п – численность меньшей из сравниваемых частных групп (в нашем примере обе группы одинаковы и равны шести). Произведем расчет необходимых показателей:

;

НСР = md · tт = 0,25 ∙ 2,45 = 0,61; νост = 6.

По критерию Стьюдента сравниваем средние" арифметические данных по осушенному и неосушенному агроландшафту:

.

Сравниваем также средние арифметические по метеорологическим условиям:

.

По прил. 4 критерия Стьюдента tт = 2,45 при Р = 0,95 для ν = 6.

Таким образом, на биомассу трав в агроландшафтах не влияет мелиорация (т. е. фактор II), так как tф = 2,0 < tт = 2,45 при Р = 0,95; метеорологические условия (фактор I) достоверно влияют на биомассу трав при Р = =0,95. Выводы, сделанные при использовании критериев Фишера и Стьюдента, совпадают.

В заключение обычно определяют точность опыта, которая равна:

p = (mM / Mобщ ) ∙100 = (0,1258 : 4,9) ∙100 = 2,56 %.

Точность опыта признается достаточно высокой, поскольку p < 3 %.

Если имеется необходимость, вычисляется коэффициент варьирования опытных данных:

, %.

Коэффициент варьирования опытных данных незначителен, что также удовлетворяет требованиям опыта.