Об одной задаче теплопроводности неоднородных сред

УДК 539.411

ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД

ФГБОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»

alexey. *****@***ru

Постановка задачи

Рассматривается двумерное уравнение теплопроводности в плоской области, составленной из трех прямоугольников с различными теплофизическими характеристиками.

, , ,

(1)

Пусть - прямоугольник со сторонами , . Г – его граница, . Так же введем следующие области:

, , , , тогда .

Параметры – плотность, – теплоемкость при постоянном объеме, – коэффициент теплопроводности терпят разрыв внутри области G:

, , ,

(2)

Граничные и начальные условия задаются в виде:

при	(3)
	(4)

На границах раздела фаз ставятся условия идеального теплового контакта:

при , ; при , ;

(5)

Необходимо определить поле температур в области G и, в частности, рассчитать время T выравнивания температуры в области G.

Методика решения

Зададим , - число разбиений по пространственным координатам x, y. В области построим равномерную сетку с шагами .

(6)

Дифференциальные операторы , заменим разностными операторами:

(7)

Обозначим:

Пусть τ – шаг по времени, тогда - точки разбиения по времени. Обозначим .

Для решения разностной задачи будем использовать схему переменных направлений[1,2]. Данная схема абсолютно устойчива и имеет второй порядок аппроксимации по временной и пространственным координатам . Схема переменных направлений состоит из двух шагов:

,

(8)

Граничные условия получаются из (3):

(9)

,

(10)

где .

На границах раздела слоев задаются условия идеального теплового контакта:

(11)

Разностная задача дополняется граничными условиями:

(12)

Первая схема (8) – (9) является явной по x и неявной по y. Прогонки ведутся «по столбцам» (по y). На границах раздела фаз параметры принимают следующие значения:

при

Вторая схема (10) – (12) является явной по y и неявной по x, прогонки ведутся «по строкам» (по x).

Численные результаты

В задаче исследуются стеклопластики. Стеклопластики – композитные материалы, в которых армирующим волокном выступает стекловолокно, а связующим – высокотемпературные пластики (полиимид, полиэфир-сульфон, полисульфон и другие).

Объёмная доля (Vm) стекловолокна в композите составляет 15-50%[3,4]. Существующие в настоящее время значения параметров формирования композитных материалов таковы: диаметр нити стекловолокна порядка 13 мкм[4]. Отсюда следуют характерные размеры представительного элемента (достаточно малого элемента, чтобы нельзя было рассматривать его как квазиоднородную среду) композитного материала.

Таблица 1. Физико-механические характеристика материалов

	Плотность,	Теплоемкость,	Теплопроводность,
Стекло	2540	827	10,4
Полиимид	1340	1040	0,22
Полиэфир-сульфон	1370	1100	0,18
Полисульфон	1240	1100	0,26

Введем интенсивность армирования .

Ниже в таблицах представлено характерное время выравнивания температуры в области G, в зависимости от использующегося связующего и массовой доли стекловолокна в композите. Здесь области соответствует связующее, а области – армирующее стекловолокно.

В качестве критерия выравнивания температуры принималось условие, что разница значений температуры во всех точках области меньше ε.

Расчёты проводились при следующих начальных и граничных условиях: , , .

Таблица 2. Характерное время выравнивания температуры.

Связующее полиимид

Vm	, мкм	, мкм		Т, мс
0,15	13	34	0,38	15,4
0,3	13	23	0,54	5,42
0,4	13	20	0,65	2,48

Таблица 3. Характерное время выравнивания температуры.

Связующее – полиэфир-сульфон

Vm	, мкм	, мкм		Т, мс
0,15	13	34	0,38	20,3
0,3	13	23	0,54	7,12
0,4	13	20	0,65	3,2

Таблица 4. Характерное время выравнивания температуры.

Связующее – полисульфон

Vm	, мкм	, мкм		Т, мс
0,15	13	34	0,38	12,78
0,3	13	23	0,54	4,52
0,4	13	20	0,65	2,11

Из таблиц видно, что время за которое выравнивается температура (порядка миллисекунд) мало по сравнению со временем эксплуатации конструкций. Так же видно, что при увеличении объемной доли стекловолокна в композиционном материале характерное время выравнивания температуры заметно уменьшается.

Литература и источники

, Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики / , - Нск.: Наука, 1967. – 196с. Марчук расщепления / , - М., 1988. – 264с. Справочник по композиционным материалам: в 2-х кн. Кн. 1/Под. ред. Дж. Любина. – М.: Машиностроение, 1988. – 448с. Справочник по композиционным материалам: в 2-х кн. Кн. 2/Под. ред. Дж. Любина. – М.: Машиностроение, 1988. – 448с.

Научный руководитель – д. ф.-м. н, профессор , ФГБОУ ВПО «Кемеровский государственный университет»