Задания для матмоделирования

Задания для матмоделирования

Механика

При выполнении заданий необходимо отсыкать максимально возможное количество аналитических решений задачи и протестировать на них численные решения (если таковые использовались).

М1. Определение кинематических характеристик по заданному закону движения материальной точки

Пусть задан закон движения материальной точки в цилиндрических или сферических координатах (нужно реализовать оба случая). Построить траекторию ее движения (3D-график) в декартовых коодинатах. Определить и построить векторы скорости и ускорения точки (тангенциальную и нормальную составляющие ускорения) как функции времени (векторы отложить от материальной точки). Определить радиус кривизны траектории и пройденный точкой путь как функции времени. Все вычисления провести параллельно в декартовых, цилиндрических и сферических координатах (добиться совпадения результатов).

М2. Полет снаряда

Смоделировать полет гаубичного снаряда, пущенного под углом к горизонту. Принять, что сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости снаряда. Учесть снижение плотности воздуха с высотой. Для стрельбы на дальнии дистанции исследовать влияние вращения Земли на полет снаряда (учесть центробежную силу и силу Кориолиса).

М3. Плоское движение математического маятника с трением

Смоделировать плоское движение математического маятника в поле силы тяжести, наличии силы трения, пропорциональной скорости грузика, и переменной внешней силы, действующей по касательной к траектории грузика. Исследовать амплитудную зависимость периода свободных колебаний маятника. Построить фазовый портрет системы и исследовать его поведение при изменении параметров системы. Проверить закон сохранения энергии (учтя работу силы трения и внешней силы). Для гармонической внейшней силы построить амлитудно-частотную и фазово-частотную характеристики.

М4. Плоский двойной маятник

Смоделировать движение плоского двойного маятника в поле силы тяжести. Найти нормальные моды малых колебаний (их формы и частоты). Провести Фурье-анализ движения системы (в том числе найти частоты нормальных колебаний таким способом). Проверить законы сохранения энергии и момента импульса (последнее при “выключенной” силе тяжести).

М5. Сферический маятник

Смоделировать движение сферического маятника (сферический маятник – это тело, которое движется на дне сферической чаши в поле силы тяжести) с трением при различных начальных условиях и параметрах системы. Проверить закон сохранения энергии (учтя работу силы трения).

М6. Полеты космических тел

Смоделировать движение спутников и ракет в поле силы тяжести Земли. Построить траекторию движения спутника Земли для заданной высоты орбиты и скорости движения по орбите. Для спутников проверить три закона Кеплера. Для ракет учесть рективную силу, направленную по касательной к траектории ракеты. Так же учесть уменьшение массы ракеты за счет выброса топлива и конечность запасов топлива на борту. Проверить закон сохранения момента импульса для спутников и ракет (для ракет учитывать момент импульса выброшенного топлива).

М7. Задача трех тел

Смоделировать движение трех тел, взаимодействующих по закону всемирного тяготения. Проверить законы сохранения энергии и момента импульса. Рассмотреть случай т. н. “ограниченной задачи трех тел” (движение тела малой массы в поле двух тел большой массы). Смоделировать поведение тела малой массы в точках либрации.

М8. Динамика волчка

Смоделировать прецессию и нутации волчка, стоящего на столе (точка касания стола осью волчка неподвижна), под действием силы тяжести. Исследовать устойчивость вращения волчка.

М9. Движение со связями - 1

Смоделировать движение материальной точки по поверхности полусферы, лежащей на горизонтальной плосткости, под действием силы тяжести и силы трения. Определить момент отрыва точки от сферы. Проверить закон сохранения энергии (учтя работу силы трения).

М10. Движение со связями - 2

Смоделировать движение двойного маятника без трения в поле силы тяжести. Проверить закон сохранения энергии и момента импульса.

М11. Уравнение Гамильтона-Якоби

Смоделировать движение нерелятивистской заряженной частицы в поле точечного заряда и в поле электрического диполя на основе уравнения Гамильтона-Якоби и уравнения второго закона Ньютона (добиться совпадения результатов). Проверить закон сохранения энергии.

М12. Классическая теория рассеяния

Смоделировать рассеяние классической частицы в кулоновском потенциале, интегрируя дифференциальное уравнение второго закона Ньютона. Получить зависимость угла отклонения как функцию прицельного параметра.