Задание

1.  Дано.

Рис.1

α = 1,9 ; а = 0,4 м ; b = 0.8 м ; с = 0,4 м ; q = 50 кН/м ; [σ] = 20МПа;

Рис. 2

2. Разобьём брус на участки, как показано на рис.2. Границами участков являются сечения, в которых приложены действующие внешние силы (в нашем случае начало и конец действия равномерно – распределенной нагрузки q), а также места изменения размеров поперечного сечения стержня. Расположим стержень вдоль оси Z.

Правило знаков;

Если внешняя сила направлена от сечения, то она записывается со знаком «+», если внешняя сила направлена к сечению, то со знаком «–». При этом «+» соответствует растяжению, а «–» – сжатию.

В нашем случае стержень разбивается на три участка (см. рис.2)

3. С помощью метода сечений определим продольную силу N на каждом участке.

Участок 1.

Рис.3

Рассекаем брус на две части, так что бы сечение находилось пределах первого участка (см. рис. 3), и рассмотрим равновесие левой отсеченной части. Границы участка 1 0 ≤ z ≤ 0.4. Условие равновесия:

Тогда продольная сила определяется по формуле:

Как видим, продольная сила N1 описывается линейной зависимостью, следовательно достаточно определить продольную силу в начале и в конце участка. В промежутке продольная сила изменяется в пределах двух полученных значений, соединенных на эпюре N прямой линией.

Тогда, при z = 0 N1 = 0

при z = 0.4 N1 = 50·0.4 = 20 кН

Участок 2.

Так же рассекаем брус на две части сечением, находящимся в пределах второго участка, и рассмотрим равновесие левой, осеченной, части стержня (см. рис.4) Границы участка 0 ≤ z ≤ 0.8 Условие равновесия:

ΣN = 0

ΣN = N2 - q·a + q·z = 0

Тогда продольная сила определяется по формуле:

N2 = q ·a - q ·z

Рис.4

Для продольной силы N2 справедливы те же рассуждения о линейности, что и для силы N1.

Тогда при z = 0 N2 = 50 ·0.4 = 20 кН

при z = 0.8 N2 = 50 ·0.4 - 50·0.8 = - 20 кН

Участок 3

Так же рассекаем брус на две части сечением, находящимся в пределах третьего участка, и рассмотрим равновесие левой части стержня (см. рис.5)

Рис.5

Границы участка 0 ≤ z ≤ 0.4. Условие равновесия:

ΣN = 0

ΣN = N3 - q ·a + q ·b = 0

Тогда продольная сила определяется по формуле:

N3 = q ·a - q ·b

Тогда при z = 0 N3 = 50 ·0.4 - 50 ·0.8 = - 20 кН

при z = 0.4 N3 = 50 ·0.4 - 50 ·0.8 = - 20 кН

Реакция защемления также равна усилию на третьем участке.

R = N3 = - 20 кН

По полученным результатам строим эпюру продольных сил (см. рис. 7)

4. Построение эпюры нормальных напряжений.

Нормальные напряжения при растяжении (сжатии) будем определять по формуле:

σ – напряжение при растяжении (сжатии) в МПа (1 МПа = 0,1кН/см. кв);

N – усилие в стержне в кН;

А – площадь сечения стержня в см. кв.

Найдем площади участков стержня, выразив их через d.

Тогда

Вычислим нормальные напряжения по участкам.

Участок 1

При z = 0

при z = 0.4

Участок 2

При z = 0

При z = 0.8

Участок 3

При z = 0

При z = 0.4

Наибольшие по абсолютной величине, но обратные по знаку, напряжения находятся на концах второго участка. По этим значениям определим диаметр стержня.

Принимаем d = 3,6 см

Тогда напряжения

Участок1

При z = 0

σ = 0

при z = 0.4

Участок 2

При z = 0

При z = 0.8

Участок 3.

При z = 0

При z = 0.4

По полученным данным строим эпюру σ ( см. рис.7).

5. Построение эпюры перемещений сечений стержня под нагрузкой.

Для построения эпюры перемещений необходимо определить удлинение (укорочение) каждого отдельного участка.

Удлинение (укорочение) определяем по формуле:

Δl - удлинение (укорочение) соответственного участка в мм;

σ1 – нормальные напряжения в начале соответствующего участка в МПа;

σ2 – нормальные напряжения в конце соответствующего участка в МПа;

Е – модуль упругости (величина, характеризующая деформационные

характеристики материала) в МПа

l – длинна соответствующего участка в мм.

Участок 1

Участок 2

Удлинение на втором участке будем находить как сумму удлинений

( эпюре σ пересекает нейтральную ось, что говорит о наличии как удлинения, так и укорочения)

Участок 3

Знак «–» показывает, что соответствующий участок бруса стал короче.

Построение эпюры перемещений начинаем с сечения у заделки, т. к. его перемещение заведомо известно, оно равно нулю. Перемещение на границе участков 3 и 2 будет равно удлинению (укорочению) участка 3.

Перемещение сечения на границе участков 2 и 1 равно перемещению сечения на границе участков 3 и 2 плюс удлинение (укорочение) участка 2.

Перемещение сечения на границе участков на конце бруса, точка К, равно перемещению сечения на границе участков 2 и 1 плюс удлинение (укорочение) участка 1. Таким образом перемещение точки К = 0.

По полученным данным строим эпюру перемещений (см. рис. 7)

7. Построение эпюры распределения напряжений в опасном сечении.

Опасными сечениями являются сечения на концах второго участка.

σпр = 19,66 МПа, σлев = - 19,66 МПа ( рис. 6)

Рис. 6

Рис.7