Радиотомография глобальных ионосферных структур (стр. 2 )

Прежде чем оценить погрешности фазовых измерений, введем ряд параметров, характеризующих геометрию схемы регистрации. На рис. 1б (r0,a0) - координаты ИСЗ, (R,ai) - координаты одного из приемников, расположенного на поверхности Земли r = R ; b - угол места ИСЗ, y = (b - p/2) - угол на ИСЗ, отсчитываемый от вертикали; О - центр Земли, ось О - О′ - ось полярной системы координат, положительное направление углов - по часовой стрелке. Реальные пропорции между радиусом Земли и высотой на рисунке, конечно, не соблюдены. Исходя из простых геометрических соотношений для любой точки в ионосфере с координатами (r,a), находящейся на расстоянии l от приемника, выполняются следующие равенства

.

Откуда получается уравнение r(a) прямого (b = const) луча

(3)

и обратное ему соотношение

. (4)

Из (3), (4) следует связь между b и a, r

. (5)

Используя (4.4) получим формулу для элемента длины ds луча

. (6)

Тогда соотношение для измеряемого линейного интеграла (2) по электронной концентрации будет иметь вид

. (7)

Иногда удобнее будет использовать угол y = b - p/2. Основа возникающих трудностей по определению линейного интеграла (7) состоит в том, что величина фазы весьма велика. Для характерных значений N ~ 1012 м-3, l = 2 м и длин луча в ионосфере порядка сотен километров f составляет тысячи радиан. Отсюда возникает проблема выделения “начальной фазы” f0 = 2pn, которую нужно прибавить к измеряемой (в пределах 2p) Df и получить полную фазу f = f0 + Df или линейный интеграл (7).

Чтобы пояснить возникающие трудности рассмотрим возможность выделения начальной фазы при наличии небольших горизонтальных градиентов. Представим концентрацию в виде разложения, где выделен регулярный сферически-симметричный фон ; ; am(y) - угол пересечения лучом максимума ионосферы, окрестность которого дает основной вклад в интеграл (7). В этом случае, вводя новую переменную h = r – R - высоту от поверхности Земли и, удерживая в (7) первые члены разложения по степеням h/R, получим

. (8)

Если бы отсутствовал горизонтальный градиент можно было бы измерить сразу Df(y) для различных углов y в диапазоне Dy и получить систему линейных уравнений, откуда определялись бы . Иными словами, известная функциональная зависимость от y позволила бы тогда выделить полную электронную концентрацию и другие моменты функции N0(h). Но наличие слагаемого с сильно ухудшит ситуацию, когда его величина станет сравнимой с 2p. Сделаем оценку данного слагаемого при почти вертикальном зондировании , , для этого заменим в подынтегральном выражении a(h) - am на y(h – hm)/(R +h) » y(h – hm)/R, hm - высота максимума, это асимптотическое равенство следует (при малых углах) из (4.17) y » (a - ai)/(1 – R/r) = (a - ai)(R +h)/h. Поэтому такие методы выделения постоянной составляющей будут работоспособны при условии

. (9)

Характерные значения ¶N/¶a при наличии “провала” в ионосфере ¶N/¶a ~ N0/Da ~ 1013 м-3 рад-1, где Da ~ 0.1 рад, N0 ~ 1012 м-3, тогда (9) выполняется лишь для Dy < 10-2. Но на углах в доли градуса определить функциональную зависимость от y при наличии шумов практически невозможно. Неравенство (9) относится к случаю определения интегральной электронной концентрации по вертикали. При наклонном зондировании ограничение на горизонтальный градиент становится еще более жестким. В работе /Солодовников и др., 1988/ приведен подробный анализ ряда традиционных методик определения постоянной фазы. Среди этих методик есть и комбинированные, использующие одновременно доплеровские и фарадеевские измерения. Результаты численного моделирования /Солодовников и др., 1988/ показали, что при наличии провала и характерных градиентах ¶N/¶a ~ 1013 м-3рад-1 ошибка определения константы варьируется в пределах 100 - 1000 %. Это согласуется с оценкой (9) и свидетельствует о нереальности практического определения линейного интеграла от электронной концентрации при наличии типичных горизонтальных градиентов в ионосфере, а именно этот случай и представляет интерес для радиотомографии.

Существует еще и метод определения полного электронного содержания в присутствии горизонтальных градиентов /Leitinger et al, 1975; Leitinger et al, 1984; Lyon et al, 1983/, основанный на регистрации сигналов ИСЗ в паре разнесенных приемных станций. Имея данные о фазах на заданной базе можно составить пару линейных уравнений с почти одинаковыми последними слагаемыми (8), т. е. лучи, идущие к разным приемникам, должны пересекать максимум ионосферы в одной точке. Аналогично, пара уравнений другого момента времени приведет к системе для начальной фазы, в которой влияние градиентного слагаемого будет ослаблено. Иначе, условие (9) заменяется менее жестким. Но полностью исключить влияние горизонтального градиента и последующих производных на результаты определения начальной фазы такой метод также не в состоянии. Конечно, всегда можно предложить вариант регистрации, в котором возможно определение начальной фазы, для этого достаточно производить многочастотный прием на системе из нескольких приемников. При этом для единственности определения число частот, умноженное на число приемников, должно быть не менее чем f0/2p, составляющее сотни единиц, что крайне усложнит систему регистрации.

Таким образом, в силу природы фазовых измерений сводить проблему ионосферной радиотомографии к задаче по линейным интегралам нецелесообразно. Определение начальной фазы простейшими системами регистрации приводит к большим ошибкам, а применение сложных многопозиционных и многочастотных систем здесь не оправдано, поскольку существует возможность иного решения проблемы. В следующем параграфе предлагается метод решения задачи радиотомографии, опирающейся только на фазоразностные или доплеровские измерения, без определения начальной фазы. Там же будет рассмотрено влияние искривления траектории лучей на результаты восстановления структуры разными методами.

1. ФАЗОРАЗНОСТНАЯ РАДИОТОМОГРАФИЯ

Здесь параллельно будут рассмотрены задачи радиотомографии как по линейным интегралам, так и по разности линейных интегралов. Последняя задача соответствует радиотомографии по фазоразностным или доплеровским измерениям. Обычная томография по линейным интегралам реализуется в проблеме реконструкции произведения Nn электронной концентрации на эффективную частоту соударений по измерениям уровня c (2). Томографическое восстановление распределения электронной концентрации N по линейным интегралам также можно было бы осуществить, если бы была возможность определения полной фазы радиосигнала (2) или иначе полной электронной концентрации по лучу. Однако это вызывает, как видно из предыдущего параграфа, серьезные методические и экспериментальные трудности. Тем не менее, в целом, практический интерес представляет как задача радиотомографии по линейным интегралам, связанная с реконструкцией Nn по измерениям уровня, так и задача радиотомографии по разности линейных интегралов, к которой сводится реконструкция N по фазоразностным измерениям.

Вместо полярных координат (r,a) далее удобнее использовать ортогональную декартову систему координат (h,t): h = (r - R) - высота над поверхностью Земли, t = aR - “поперечное” (горизонтальное) расстояние по поверхности Земли в плоскости пролета ИСЗ. При этом уравнение луча (3) уже не будет прямой линией

. (10)

Здесь ti, h = 0 - координаты приемников. Обратное к (10) соотношение аналогично (4)

. (11)

Линейные интегралы типа (2) в этом случае с учетом (6) имеют вид:

. (12)

Интегрирование по лучу, соединяющему i-приемник (ti = aiR) с ИСЗ, заменено в соответствии с (6) интегрированием по высоте от поверхности Земли до высоты ИСЗ – h0. Угол места b - определяется (5) положением ИСЗ (h0,t0). Орбита может быть и не круговой, тогда h0 является функцией t0. Линейный интеграл I(b,ti) зависит от координаты приемника ti и угла места спутника - b. Линейным интегралом может быть уровень c измеряемого радиосигнала или полная фаза f (2), при этом восстанавливаемая функция F будет пропорциональна либо Nn, либо N. Поскольку число приемников не может быть большим и диапазон углов b ограничен, не целесообразно рассматривать методы аналитического обращения таких линейных интегралов и методы интегральных преобразований. В данном случае малоракурсной томографии имеет смысл с самого начала решать задачу в дискретной форме и применять алгебраические алгоритмы реконструкции или методы разложения в конечные ряды.