19. Доказать, что сферическое отображение минимальной поверхности в окрестности каждой точки, не являющейся точкой уплощения, конформно.
Используемые формулы и понятия:
Опр.: Сферическим изображением множества М выпуклой гиперповерхности F называется множество концов единичных векторов внешних нормалей к опорным гиперплоскостям в точках множества М, перенесенных началом в центр единичной сферы. Уравнение соприкасающейся плоскости (стр. 139).
Опр.: Поверхность F называется минимальной, если у каждой точки Р этой поверхности есть окрестность 
, ограниченная простой кривой 
такая, что любая поверхность с краем имеет площадь не меньшую, чем окрестность поверхности F.
Утв.: Минимальная поверхность имеет равную нулю среднюю кривизну.
Опр.: Пусть 
и 
— регулярные поверхности. Топологическое отображение поверхности на поверхность называется конформным, если оно сохраняет углы между кривыми в том смысле, что соответствующие кривые на этих поверхностях пересекаются под равными углами.
Теорема. Если регулярные поверхности и параметризованы так, что коэффициенты их первых квадратичных форм пропорциональны, то отображение одной поверхности на другую, при котором сопоставляются точки с одинаковыми координатами, конформно. Обратно, если поверхности и параметризовать так, что соответствие точек с одинаковыми координатами конформно, то первые квадратичные формы поверхностей пропорциональны.
E, F, G – коэффициенты первой квадратичной формы (стр. 108)
L, M, N – коэффициенты второй квадратичной формы (стр. 125)
Средняя кривизна:
Полная кривизна:
Деривационные формулы (152):
– единичный вектор нормали
Решение:
Пусть – минимальная поверхность, — ее образ при сферическом отображении. Обозначим e, f, g – коэффициенты первой квадратичной формы . Тогда
Раскроем скобки внутри второго множителя
Тогда
Преобразуем второй множитель
Продолжим равенство 
Другими словами, коэффициент
первой квадратичной формы равен
Аналогичным образом получим
Так как – минимальная поверхность, то 
, следовательно справедливы равенства
То есть коэффициенты первых квадратичных форм поверхностей и пропорциональны, следовательно отображение конформно.
