Ядерная оценка параметра потока отказов

ЯДЕРНАЯ ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА ПОТОКА ОТКАЗОВ.

При работе со статистическими данными ограниченных объемов необходимо использовать статистические процедуры, использующие по максимуму всю имеющуюся информацию. Выбор определенного решения с помощью таких процедур заведомо будет обладать меньшей ошибкой. В этой работе предлагается для оценивания параметра потока отказов использовать более современные методы, учитывающие моменты отказов.

0. Введение.

Для оценки безотказности восстанавливаемых объектов, как известно применяются два основных показателя надежности: средняя наработка на отказ и параметр потока отказов.

Параметр потока отказов определяется как отношение среднего числа отказов восстанавливаемого объекта за произвольно малую его наработку к значению этой наработки.

В начальный момент времени объект начинает работу и работает до отказа случайное время x1, после отказа происходит восстановление работоспособности и объект вновь работает до отказа случайное время x2 и т. д. Предположим, что восстановление происходит мгновенно, и что все xi независимы и одинаково распределены. В этом случае для параметра потока отказов можно вывести известное в теории надежности уравнение восстановления.

Моменты отказов на оси непрерывного времени образуют поток отказов. Обозначим через ti - момент i-го отказа (или i-го восстановления, поскольку восстановление происходит мгновенно). Очевидно, что . Тогда случайное число отказов до момента времени t равно: (здесь I{A}- функция - индикатор истинности аргумента, равная единице, если А - истина и нулю в противном случае). Математическое ожидание числа отказов до момента времени t равно:

, (1)

функция распределения с. в. ti.

Эта функция известна также, как «ведущая функция» потока (см. [1]). Тогда можно определить параметр потока отказов, как производную ведущей функции потока:

, (2)

плотность распределения с. в. ti.

Средняя наработка на отказ - это отношение наработки восстанавливаемого объекта к математическому ожиданию числа его отказов в течение этой наработки:

. (3)

Уравнения (1), (2) в лапласовском выражении будут выглядеть следующим образом: , . Преобразование Лапласа плотности , следовательно .

Таким образом, параметр потока отказов связан с плотностью распределения наработки до отказа уравнением:

. (4)

С функцией распределения уравнением:

. (5)

Решение интегральных уравнений (4), (5) позволяет по известному параметру потока отказов оценивать плотность распределения или функцию распределения наработки до отказа. По известной плотности распределения можно определить такие показатели надежности объекта как средний ресурс и срок службы, гамма - процентный ресурс и срок службы и т. д. (см. [1]). Другими словами, плотность распределения наработки до отказа является важнейшей характеристикой, необходимой для расчёта основных показателей надёжности.

На практике информация об отказах часто представлена моментами отказов, что позволяет оценивать ведущую функцию потока отказов и параметр потока отказов. Если поток отказов формируют отказы одного объекта, то оценивание плотности или функции распределения не вызывает труда, так как в этом случае можно восстановить время i- той наработки по очевидной формуле:

. (6)

И задача сводится к следующей - по выборке x1, x 2,.., x n оценить функцию распределения или плотность.

Чаще всего ситуация усложняется тем, что поток формируют отказы m однотипных объектов. Если предположить, что объекты эксплуатируются в одинаковых условиях, то очевидно, что в этом случае ведущая функция потока, а, следовательно, и параметр потока отказов будут обладать свойством сложения потоков:

, (7)

где - ведущая функция потока произвольного из m- объектов, а - ведущая функция потока m- объектов;

, (8)

где - параметр потока отказов произвольного из m- объектов, а - параметр потока отказов m- объектов.

Единственным способом оценивания неизвестного распределения наработки до отказа в этом случае будет оценка функций , , затем, используя (7) и (8), функций , и решение уравнений (4), (5).

Итак, пусть имеется поток отказов от m- объектов: .

Естественной оценкой для функций , на некотором интервале времени (причём ) будут:

, (9)

, (10)

Из формул (9), (10) видно, что качество оценивания функций , в первую очередь зависит от качества оценок функции распределения и плотности распределения. Поэтому необходимо прежде рассмотреть современное состояние вопроса оценивания функции распределения и плотности распределения.

1. Ядерная оценка плотности распределения.

Эмпирическая функция распределения:

, (11)

(здесь -функция Хэвисайда, t1,...,tN - выборка из некоторой генеральной совокупности)

является простейшей оценкой функции распределения, как известно, обладающей свойствами несмещённости, асимптотической нормальности и эффективности.

Классическая эмпирическая функция распределения является достаточно хорошей оценкой, единственным недостатком которой является отсутствие гладкости. Поэтому определенные способы повышения точности оценивания функции распределения могут быть связаны лишь с различными способами сглаживания.

Гистограмма:

для (12)

является простейшей оценкой плотности распределения, вообще говоря, не обладающей свойством несмещённости.

Оценка (12), впрочем как и оценка (11), является кусочно - постоянной. Ее построение происходит просто. Множество, в котором находятся наблюдения ti, разбивается на S- интервалов (либо равной длины, либо равной вероятности) и подсчитывается число наблюдений, попавших в каждый из интервалов и делится на объем данных - N, и длину интервала - , тем самым обеспечивается выполнение

условия нормировки: . (13)

Что касается недостатков гистограммной оценки (12), то в первую очередь необходимо отметить значительную потерю информации, связанную с тем, что исследователю для построения гистограммы необходимо знать - сколько наблюдений попало в выбранный интервал разбиения и абсолютно не важны при этом значения наблюдений. Во-вторых, принцип разбиения (равномерно, равночастотно или еще как-то), а также число разбиений - S являются некоторыми «степенями свободы». Как исследователь выполнит разбиение, воспользовавшись такой свободой - это, в конечном итоге, зависит только от него. В-третьих, скорость сходимости гистограммной оценки к плотности крайне низкая:

. (14)

В задаче оценивания плотности распределения существует много способов, уже ставших классическими. В первую очередь необходимо отметить ядерные оценки.

Ядерные оценки предложены в 1948 г. Парзеном и Розенблатом. Идея построения оценок основана на законе больших чисел (ЗБЧ), из которого следует, что среднее арифметическое последовательности N случайных величин с ростом N в том или ином смысле сходится к математическому ожиданию.

Как известно, функцию распределения можно определить математическим ожиданием:

. (15)

Если же оценивать это математическое ожидание средним арифметическим, то мы сразу получим оценку (11).

Плотность распределения, аналогично, можно определить как математическое ожидание:

, (16)

где обобщенная дельта - функция Дирака. Парзен и Розенблат предложили использовать в качестве ядра интегрального оператора уравнения (16) функцию , такую, что:

.

Эта функция, названная ядром, должна быть положительной и должна удовлетворять условию нормировки (13), то есть быть плотностью распределения некоторой случайной величины.

Рис.1 Ядра Парзена-Розенблатта, Бартлета - Епанечникова и Гауссовское для различных параметров локальности.

В качестве такой функции Парзен и Розенблат предложили: . (17)

Очевидно, что если взять в качестве ядра такую функцию, то:

,

(если плотность существует).

Теперь можно определить ядерную оценку плотности распределения:

. (18)

Если использовать ядро (17) то, к сожалению, оценка будет получаться кусочно - постоянной, поэтому позднее было предложены другие ядра [2,3] (см. рис. 1.). К примеру:

ядро Бартлета-Епанечникова (19)

Гауссовское ядро. (20)

Скорость сходимости ядерных оценок несколько больше чем у гистограммных: . (21)

Необходимо отметить, что эта скорость достигается при оптимальном параметре h.

Вообще говоря, параметр локальности h выступает в качестве основного управляющего параметра. Его значение оказывает существенное влияние на вид оценок и на их точность (см. [3]). Можно показать, что дисперсия оценки . Следовательно, h нельзя брать бесконечно малым, так как при этом дисперсия оценки (20) будет стремиться к бесконечности. Вследствие этого, по действию на оценку плотности h целесообразнее было бы назвать параметром сглаживания, так как при постепенном увеличении параметра оценка плотности становится все более и более гладкой. С другой стороны, нельзя брать параметр h слишком большим, поскольку при этом увеличивается систематическая ошибка: . Таким образом, возникает интересная оптимизационная задача. Но, к сожалению, её теоретическое решение - оптимальный параметр h- зависит от неизвестной плотности.

В 70-80-х годах появились так называемые адаптивные ядерные оценки, в которых подбор параметра h осуществлялся тем или иным способом по выборке , то есть подстраивался под статистические наблюдения. Некоторые методы подбора параметра локальности в оценках ядерного типа можно найти в [2,3]. Определив важную роль параметра h, теперь непосредственно перейдем к задаче оценивания параметра потока отказов.

2. Ядерная оценка параметра потока отказов.

Классическая статистическая оценка параметра потока отказов строится по принципу гистограммы. Оценка, полученная таким способом, является кусочно - постоянной. Если затем эту оценку подставлять в уравнение (4), то решением будет негладкая кусочно - непрерывная плотность (см. рис. 2-5). Сглаживания плотности можно добиться с помощью ядерных оценок параметра потока отказов. Подставив формулу (18) в (10), получаем:

(22)

Поскольку, вообще говоря, - распределены неодинаково, то в этой формуле отсутствует n в знаменателе. Далее, будем предполагать, что - упорядочены, т. е. образуют вариационный ряд.

Предположим, что объем выборки больше числа объектов, то есть n>m. В этом случае можно предположить, что объем информации достаточно велик для оценивания неизвестной плотности на временном интервале , интеграл по которому . Если число объектов, находящихся под наблюдением, m=1, математическое ожидание и дисперсия наработки конечны и равны , то по центральной предельной теореме (ЦПТ) . Поэтому целесообразно взять в качестве ядра гауссовскую плотность (20), а параметр локальности h, как величину приближенно равную среднеквадратическому отклонению с. в. , необходимо брать переменным: , где .

Таким образом, мы приходим к задаче оценивания по выборке дисперсии случайной наработки . Если m=1, то естественной оценкой дисперсии будет:

, (23)

где .

Откуда получается оценка параметра потока отказов:

(24)

В случае, когда m>1 оценивание дисперсии наработки до отказа уже сложнее, ввиду того, что потеряна информация о том, какой именно из m объектов отказал. Одним из методов оценивания может быть метод, основанный на последовательном приближении решения уравнения:

, (25)

где , .

Откуда получается оценка параметра потока отказов:

(26)

Оценку математического ожидания наработки до отказа - можно упростить используя свойства ведущей функции потока: .

Оценка параметра потока отказов по формулам (24) или (26) будет иметь смещение, особо ощутимое в хвосте наблюдений. Связано оно с тем, что в формуле (10) используется частичная сумма по n имеющимся наблюдениям и не учитывается сумма : .

Оценим систематическую ошибку параметра потока отказов. Пусть T- момент времени, в который мы хотим оценить ошибку, тогда:

,

где , . Для оценки второго слагаемого воспользуемся асимптотикой: , тогда:

(27)

Окончательный вид оценки параметра потока отказов в случае, когда n>m:

. (28)

В случае, когда n<m необходимо использовать оценку (22) с постоянным параметром локальности, поскольку объем информации недостаточен для того, чтобы можно было применить ЦПТ.

Рис 3.1. Различные способы оценивания параметра потока отказов.

Примечание: Наработки моделировались по нормальному закону с параметрами: Среднее=60, среднеквадратическое отклонение=10, количество объектов m=800. Слева - получающаяся оценка плотности распределения.

Рис 3.2. Различные способы оценивания параметра потока отказов.

Примечание: Наработки моделировались по нормальному закону с параметрами: Среднее=20, среднеквадратическое отклонение=5, количество объектов m=100. Слева- получающаяся оценка плотности распределения.

 

 

Рис 3.3. Различные способы оценивания параметра потока отказов.

Примечание: Наработки моделировались по нормальному закону с параметрами: Среднее=50, среднеквадратическое отклонение=15, количество объектов m=50. Слева - получающаяся оценка плотности распределения.

Рис 3.4. Различные способы оценивания параметра потока отказов.

Примечание: Наработки моделировались по гамма- закону с параметрами: Параметр формы=2, параметр масштаба=10, количество объектов m=20. Слева - получающаяся оценка плотности распределения.

 

Рис 3.5. Различные способы оценивания параметра потока отказов.

Примечание: Наработки моделировались по показательному закону с параметрами: параметр масштаба=15, количество объектов m=20. Слева - получающаяся оценка плотности распределения.

Анализ рисунков показывает несомненное преимущество ядерного оценивания параметра потока отказов. Если гистограммным методом оценивать параметр потока отказов и затем подставлять эту оценку в уравнение восстановления для получения оценки функции плотности, то в качестве решения получается кусочно-непрерывная функция не являющаяся плотностью распределения так как нарушено обязательное условие неотрицательности. Более того, гладкость оценки оставляет желать лучшего, хотя в среднем оценка напоминает график теоретической плотности. Ядерная оценка параметра потока отказов приводит к гладкой оценке функции плотности. Небольшие флуктуации на хвостах распределения заметно сгладились после учета поправки на параметр потока отказов, рассчитанные по формуле (3.16). Дальнейшего улучшения качества оценивания можно добиться увеличением параметра сглаживания. Несомненно, что в результате необходимо получить адаптивный алгоритм получения оценки плотности по параметру потока отказов, то есть такой алгоритм, в котором все необходимые параметры алгоритма оценивались бы по имеющейся статистической информации. Практические результаты были получены неадаптивным алгоритмом, так как параметр сглаживания подбирался вручную.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ПО ПРАКТИЧЕСКИМ РАСЧЕТАМ.

Анализ статистической информации об отказах оборудования энергоблоков АЭС за последние несколько лет показал, что

1) В лучшем случае мы имеем данные о моментах отказов приборов определенного типа, причем извлечь информацию о том, какой конкретно прибор из этой совокупности отказал в основном невозможно.

2) Иногда невозможно восстановить сколько приборов находится в эксплуатации.

3) Чаще всего имеется информация о количествах отказов за год.

В этой ситуации возможно оценивание вышеуказанных показателей надежности только через ведущую функцию или же через параметр потока отказов. Качественная оценка последних приводит к достаточно хорошим оценкам плотности (см. рис. 10.1-10.5), по которой уже достаточно просто восстановить все остальные показатели надежности (в том числе и остаточный ресурс), поскольку они связаны уравнениями с плотностью или функцией распределения наработки до отказа.

Если же оценивать по информации о событиях потока остаточный ресурс или интенсивность, ВБР (т. е. показатели «невосстанавливаемых» объектов) то в результате мы получим показатели надежности не одного прибора из некоторой совокупности, а всей совокупности сразу. Делать же определенные выводы по показателям надежности совокупности о надежности элемента совокупности невозможно, так как в вероятностном смысле при оценивании показателей надежности совокупности допускается серьезная ошибка, состоящая в предположении об одинаковой распределенности моментов отказов, что может быть как-то оправдано в случае, когда число отказов гораздо меньше числа приборов, формирующих поток. Если же число отказов сравнимо, или больше числа приборов формирующих поток, то к таким отказам нельзя относиться как к элементам выборки из некоторой генеральной совокупности. И, следовательно, к получающейся интенсивности надо будет относиться как к интенсивности совокупности и понимать при этом, что этот показатель надежности будет нести в себе другой вероятностный трудноуловимый смысл.

Единственным и самым правильным в этой ситуации представляется восстановление всех характеристик надежности через параметр потока отказов, обоснованию качественного оценивания которого и посвящен этот отчет.

Список литературы:

1. Старение и прогнозирование ресурса оборудования атомных станций.-М.:Энергоатомиздат,1994.-288с.

2. Непараметрическое оценивание плотности. L1-подход:Пер. с англ.- М.:Мир,1988.-408с.

3. Непараметрическая идентификация и сглаживание данных: метод локальной аппроксимации.-М.:Наука,1985.-336с.

4. Экспоненциальные оценки для случайных полей и их применения. Монография.- Обнинск:ИАТЭ,1999.-350с.

5. Надежность и техническое обслуживание. Математический подход.-М.:Наука,1984.-328с.

6. Статистическое оценивание распределения вероятностей.-Тбилиси.-ТГУ,1983.-257с.

7. Робастность в статистике. Подход на основе функций влияния: Пер. с англ..- М.:Мир, 1989.-512с.

8. , , и др. Анализ надежности технических систем по цензурированным выборкам./ М.: Радио и связь, 1988г.