УДК 004.921
ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТИ СВОЙСТВ БЕТА-СПЛАЙНОВЫХ КРИВЫХ ОТ ПАРАМЕТРОВ
Кафедра математического анализа
Кемеровский Государственный Университет
*****@***ru
Сплайновые кривые широко используются в представлении геометрических образов, которые имеют довольно сложную форму, не допускающую универсально – аналитического задания в целом с помощью одной функции. Поэтому исследуемую кривую представляют в виде объединения конечного числа гладких кривых Ri(t), параметрические уравнения которых задаются с помощью кубических многочленов от t.
Рассмотрим элементарную бета-сплайновую кривую, которая по заданному массиву P0,P1,P2,P3 определяется при помощи векторного уравнения вида , 0≤t≥1 (1)
Здесь функциональные коэффициенты bi(t) которые задаются следующими формулами:
(2)
Где β1>0 и β2≥0 и δ =2β13+4β12+4 β1+ β2+2
Числовые параметры β1 и β2 называются параметрами формы бета-сплайновой кривой, при этом параметр β1 называется параметром скоса (смещения), а β2≥0 - параметром напряжения.
Пусть составная бета-сплайновая кривая R(t) является объединением N элементарных бета-сплайновых кривых Ri(t), каждая из которых задается векторным уравнением (1). Потребуем, чтобы в точках стыка две смежные кривые Ri(t) и Ri+1(t) имели общую касательную и непрерывный вектор кривизны. Получим следующую краевую задачу (3).
(3)
Решением этой задачи являются коэффициенты bi(t).
При β1=1и β2=0 получается элементарная кубическая В-сплайновая кривая (получила наибольшее распространение)
Свойства функциональных весовых коэффициентов b0(t),b1(t),b2(t),b3(t) оказывают существенное влияние на поведение элементарной бета-сплайновой кривой:
1. Неотрицательны.
2. В сумме составляют единицу.
3. Не зависят от вершин массива P0,P1,P2,P3 (универсальны).
Элементарная бета-сплайновая кривая лежит внутри выпуклой оболочки заданных вершин P0,P1,P2,P3 - четырехугольника (в плоском случае), и как правило, не проходит ни через одну из опорных вершин.
В отличие от В-сплайновых кривых в уравнениях бета-сплайновых кривых содержатся параметры β1, β2 , изменяя которые можно менять форму кривой, не меняя точек опорного массива.
Рассмотрим зависимость формы бета-сплайновой кривой от значений параметров β1 и β2, и проиллюстрируем ее в системе Maple 8. В частности, проверим при каких значениях β1 и β2 кривая «выходит» за пределы выпуклой оболочки точек массива. Для этого зафиксируем точки P0,P1,P2,P3. Далее, выбрав значения β1 и β2, найдем 
и подсчитаем коэффициенты bi(t). Найдя параметрические уравнения кривой, построим ее вместе с опорным массивом в системе Maple 8.
1.β1 =1, β2 =0
2. β1 =1, β2 =0.5
3. β1 =1/4, β2 =3/4
4. β1 =0.5, β2 =1
5. β1 =2, β2 =1
Опираясь на проведенные исследования, можно сформулировать следующие результаты:
1. При β1 →1, β2 →1 - кривая располагается правее вершин P1,P2.
2. При β1=1, β2≥0 - кривая располагается по центру четырехугольника P0,P1,P2,P3.
3. При β1 >1, β2 ≥1 - кривая располагается левее P1,P2.
В дальнейшем, предполагается продолжить исследования зависимости свойств составной кривой от параметров β1 и β2. В частности, интересен вопрос, могут ли две смежные элементарные кривые иметь разные значения β1 и β2.
Литература
1. Шикин графика. – М.: Диалог – Мифи, 1998. – 178 с.
2. Шикин и поверхности на экране компьютера / , . – М.: Диалог – Мифи, 1996. – 130 с.
Научный руководитель – к. ф-м. н, доцент
