, ,
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ ОПТИМИЗАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ
Кемеровский государственный университет
E-mail: *****@***ru, *****@***ru
Постановка задачи. К настоящему времени существует значительное число подходов и методов для решения систем нелинейных уравнений 
, аппроксимирующих уравнения гидродинамики [1]. Один из имеющихся подходов состоит в сведении задачи решения системы уравнений к задаче о наименьших квадратах, т. е. к задаче минимизации [1]
. (1)
В работе применительно к решению систем уравнений аппроксимирующих стационарные краевые задачи гидродинамики исследуются многошаговые методы минимизации функции 
, основанные на характеристиках значений функции и ее градиента.
Используемые методы минимизации. На настоящий момент существует несколько быстросходящихся классов градиентных и субградиентных методов минимизации [2, 3]. Для гладких задач это методы сопряженных градиентов [2] и квазиньютоновские методы [2, 3], основанные на квадратичной модели функции. Квазиньютоновские методы имеют вид [2, 3]
, 
, 
(2)
Они обладают высокой эффективностью, устойчивы к неточности одномерного спуска, но в силу необходимости хранить и манипулировать полностью заполненной матрицей 
, не применимы для высоких размерностей. Цель построения матриц заключается в получении матрицы обратной гессиану функции.
Итерация метода сопряженных градиентов (МСГ) имеет вид [2]
. (3)
Различные модификации МСГ отличаются выбором параметра 
. Метод конечен на квадратичных функциях и позволяет построить систему сопряженных векторов [2]. К недостаткам МСГ относится чувствительность метода к степени точности одномерного спуска, ошибкам округления, помехам и отсутствию квадратичности функции. Другой недостаток метода заключается в сложности его модернизации с целью повышения скорости сходимости, поскольку на итерациях необходимо соблюдать принцип сопряженности полученным ранее векторам спуска.
Используемые в работе субградиентные методы минимизации (СММ) [3-6], хотя и предназначены для негладких задач, но в гладком случае при соответствующей реализации они также обладают свойствами методов сопряженных градиентов [2].
Сравнение рассматриваемых методов проводилось при решении различных разностных задач аппроксимирующих стационарную систему уравнений Навье-Стокса.
Методы организованные по схеме (2) для небольшой размерности оказались по числу итераций в 5-10 раз эффективнее методов, в которых не используется матрица (3). Методы МСГ на задачах малой и большой размерности превосходят примерно в 2 раза существующие многошаговые методы СММ [3, 6], организованные по схеме (3) (СММ3). С другой стороны методы типа СММ3 на использованном множестве задач, в отличие от МСГ, всегда позволяют решить задачу и не подвержены случайным зацикливаниям и аварийным остановам.
Направления модернизации методов. Для решения задачи совершенствования многошагового метода необходимо иметь эффективный прототип метода типа (3), в котором используется матрица. В этом случае задача совершенствования заключается в формировании матриц ограниченного ранга, использование которых не разрушало бы логику конечной сходимости метода минимизации. Очевидно, что здесь нужны дополнительные исследования, которые возможно приведут к существенному повышению эффективности многошаговых методов типа МСГ и СММ3.
Литература
1. Захаров, итерационные методы решения задач гидродинамики / Захаров, Ю. Н. – Новосибирск: Наука, 2004. – 239с.
2. Поляк, в оптимизацию / М.: Наука, 1983. – 384с.
3. Крутиков, методы безусловной оптимизации и их применение. / - Томск: Изд-во Том. государственного педагогического ун-та, 2008. – 264с.
4. Крутиков, метод минимизации с растяжением пространства в направлении субградиента / , // Экономика и мат. методы. – 2003. – Т. 39, Вып. 1. – С 33-49.
5. Крутиков, релаксационных субградиентных методов с двухранговой коррекцией матриц метрики / , // Экономика и мат. методы. – 2009. – Т. 45, – №4. – С 37-80.
6. Крутиков, обучения на основе ортогонализации последовательных векторов / , // Вестник КемГУ. – 2012 – Вып. 2 (50). – С. 37-42.
