УДК

Логарифмические неравенства. Метод рационализации

Элерт Татьяна

ГБНОУ «Губернаторский многопрофильный лицей-интернат»

Логарифмические уравнения, неравенства и их системы, как правило, задание части С в ЕГЭ по математике. Результаты проверки ЕГЭ показывают, что большинство учащихся решают логарифмические неравенства с использованием стандартных, алгоритмических методов, что приводит к очень громоздким выкладкам. В связи с этим процент выполнения заданий второй части работы невысокий.

Поэтому главной целью работы являлось изучение метода решения логарифмических неравенств, основанного на замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x) , при которой неравенство G(x) ∨ 0 равносильно неравенству F(x) ∨ 0 в области определения выражения F(x) . Это так называемый, метод рационализации. Большой спектр задач решается изящно и интересно при помощи применения этого метода.

В работе условия равносильности сформулированы в виде теорем, приведены доказательства к ним. Равносильные переходы представлены в виде таблицы в приложении.

Рассмотрим логарифмическое неравенство

(1)

Особенность этого неравенства заключается в том, что оно с переменным основанием. Решая это неравенство традиционным способом, мы бы рассматривали два случая: сравнивая основание с единицей, т. е. данное неравенство равносильно совокупности двух систем

или

Метод рационализации позволяет в области допустимых значений неравенства (1) (2)

заменить его равносильным неравенством

(3)

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Приведем обоснование равносильности. Пусть верно неравенство (3) , которое равносильно совокупности систем:

или

Из первой и второй системы совокупности следует выполнения неравенства (1).

Верно и обратное. Пусть верно неравенство (1), тогда из справедливости полученных систем следует неравенство (3).

Преимущество метода рационализации состоит в том, что за один шаг можно освободиться от логарифмов с переменными основаниями, и затем, если основание логарифма и логарифмируемые выражения являются рациональными функциями, можно воспользоваться классическим методом интервалов.

Теоретический материал проиллюстрирован большим количеством решенных заданий из сборников для подготовки к ЕГЭ. Исследовательскую работу можно рекомендовать выпускникам старшей школы, как новый материал, который они могли бы использовать при подготовке к государственной итоговой аттестации по математике в форме ЕГЭ для обобщения и систематизации знаний по данной тематике.

Приложение. Таблица равносильности

F(x)

G(x)

1

2

3

4

Пример. Решить неравенство

.

Область допустимых значений неравенства определим из системы

решением которой является интервал .

Для решения первоначального неравенства применим метод рационализации, получим

,

или после преобразования

.

Решения полученного неравенства: принадлежат ОДЗ.

Ответ:-6;0;6.

Литература.

1.Клово . Тесты к ЕГЭ/ .-Ростов н/Д: Феникс,2012.-220с.

2.Математика. Все для ЕГЭ 2012.Книга1/, , .-

Ростов н/Д:НИИ школьных технологий,2011.-272с.

3.ЕГЭ-2012.Математика: типовые экзаменационные варианты:30вариантов/ под ред. , .- М:Национальное образование, 2011.-192с.

Научный руководитель: ст. преп. кафедры диф. уравнений КемГУ