Индивидуальные задания. Часть 4

Индивидуальные задания. Часть 4.

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Задание 6.

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения y'=f(x, y) на отрезке [a,b] при заданном начальном условии и шаге интегрирования h.

Номер варианта соответствует порядковому номеру в списке.

Исполнение: С помощью инструментальных пакетов MS Office, MathCad методами Эйлера, Рунге-Кутта 4-го порядка и Адамса, предусмотрев вывод полученных решений в виде таблиц и графиков.

Методические указания

Системы дифференциальных уравнений

Дана система дифференциальных уравнений:

, где n – размерность системы.

Рассмотрим задачу Коши для данной системы. Пусть известны начальные условия при x0 = a: y1(x0) = y10, y2(x0) = y20, …, yn(x0) = yn0. Требуется найти y1(x), y2(x),…, yn(x), проходящие через заданные точки: (x0,y10), (x0,y20), …, (x0,yn0).

Методы решения одного дифференциального уравнения можно обобщить и на их системы.

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка для системы ОДУ 1-го порядка

Расчетные формулы метода Рунге-Кутта 4-го порядка для системы ОДУ 1-го порядка:

где ;

;

;

m – количество узлов;

– номер функции;

– номер узла;

;

;

;

.

Задания:

1. Задать исходные данные: функцию f правой части, начальное значение .

2. Используя функцию eyler, найти приближенное решение задачи Коши с шагом h=0.1 по явному методу Эйлера.

3. Используя встроенную функцию rkfixed пакета MATHCAD, найти приближенное решение задачи Коши с шагом h=0.1 по методу Рунге-Кутты 4 порядка точности 4. Найти решение задачи Коши аналитически.

5. Построить таблицы значений приближенных и точного решений. На одном чертеже построить графики приближенных и точного решений.

6. Оценить погрешность приближенных решений двумя способами:

a) по формуле ; здесьи - значения точного и приближенного решений в узлах сетки , i=1,..N;

b) по правилу Рунге (по правилу двойного пересчета).

7. Выяснить, при каком значении шага h решение, полученное по методу Эйлера, будет иметь такую же погрешность (см. п. 6а), как решение, полученное с помощью метода Рунге-Кутты с шагом h=0.1.

УКАЗАНИЕ. В п. 7 рекомендуется провести серию вычислений решения по методу Эйлера, дробя шаг h пополам.

N	f(t, y)	t0	T	y0(t0)	N	f(t, y)	t0	T	y0(t0)
1		1	2	0	14		1	2	1
2			+1	0	15		1	2	3
3		0	1	0	16		1	2	1
4			+1	0.5	17		1	2	1
5		-1	0	1.5	18		1	2
6		0	1	1	19		1	1	1
7			+1	1	20		0	1	3
8		p	p+1		21		0	1	1
9		1	2	1	22		0	1	1
10		0	1		23		0	1	0.5
11		2	3	4	24		0	1	3
12		1	2		25		0	1	-0.5
13		1	2	1	26		1	2	1