Уравнения Вольтерра

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Кафедра управления и информатики (У. и И.)

Задача №4 (6-VV)

УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА

Выполнил
Студент
Вариант	VV-3
Группа	А – 02 – 03

Принял
Преподаватель
Дата

Москва 2007 г

Исходные данные.

·  На популяции «жертв» и «хищников» в двумерной модели Вольтерра влияют факторы внутривидовой конкуренции и управления.

·  Значения коэффициентов и переменных выбираются исходя из разумных соображений, если они не указаны в условиях задачи.

Исследовать влияние параметров и управляющих факторов на динамические свойства систем.

Процедуры решения.

·  Построить математическую модель системы.

·  Определить состояния равновесия системы.

·  Определить якобиан системы.

·  Определить собственные значения матриц линеаризованной системы.

·  Определить устойчивость особых точек.

·  Качественно построить фазовый портрет системы при различных начальных условиях.

·  Рассчитать и построить фазовый портрет системы.

·  Построить поле интегральных кривых

·  Вычислить и построить дивергенцию фазовых траекторий.

·  Как изменится фазовый портрет процессов при изменении квот потребления ресурсов?

·  Дать рекомендации по выбору квот потребления ресурсов.

VV-3

На популяцию «хищников» в модели Вольтерра влияет фактор внутривидовой конкуренции.

Задача

Одним из самых известных примеров описания динамики взаимодействующих популяций являются уравнения Вольтерра—Лотка.
Пусть x1 и x2 — число жертв и хищников соответственно. Предположим, что относительный прирост жертв x1'/x1 равен a-bx2, a>0, b>0, где a — скорость размножения жертв в отсутствие хищников, - bx2 — потери от хищников. Развитие популяции хищников зависит от количества пищи (жертв), при отсутствии пищи ( x1=0 ) относительная скорость изменения популяции хищников равна , c>0 , наличие пищи компенсирует убывание, и при x1>0 имеем , d>0.
Таким образом, система Вольтерра—Лотка имеет вид:

где a, b, c, d >0.
Рассмотренная модель может описывать поведение конкуренции на рынке, рост населения, колебание динамики роста, изменение климата, прогресс деятельности и пр.
Рассмотрим фазовый портрет системы Вольтерра—Лотка для a1=0.1,a2=0.2 и графики ее решения с начальным условием x1(0)=2, x2(0)=05, построенные программой ОДУ.

МОДЕЛЬ ВОЛЬТЕРРЫ-ЛОТКИ x1' = x1 (α1 - β1x2 - γ1x1) x2' = - x2(α2 - β2x1)	Начальные условия:
x1 x2
Параметры системы:
α1 α2 β1 β2 γ1

Видно, что в этом случае стационарная точка превращается в устойчивый фокус, а решения — в затухающие колебания. При любом начальном условии состояние системы через некоторое время становится близким к стационарному и стремится к нему при .

Графики решений и фазовая кривая при отрицательном значении параметра a, a =-0.1, приведены ниже

МОДЕЛЬ ВОЛЬТЕРРЫ-ЛОТКИ x1' = x1 (α1 - β1x2 - γ1x1) x2' = - x2(α2 - β2x1)	Начальные условия:
x1 x2
Параметры системы:
α1 α2 β1 β2 γ1

МОДЕЛЬ ВОЛЬТЕРРЫ-ЛОТКИ x1' = x1 (α1 - β1x2 - γ1x1) x2' = - x2(α2 - β2x1)	Начальные условия:
x1 x2
Параметры системы:
α1 α2 β1 β2 γ1

В результате чего, меняя входные данные получаем разные фазовые портреты, в следствии чего - различные по своим перспективам системы