О разрешающих уравнениях теории упругости

О разрешающих уравнениях теории упругости

1, 2

1Елабужский институт К(П)ФУ, *****@***ru, 2Институт вычислительной математики и ИТ К(П)ФУ, г. Казань, Radik. *****@***ru

В работе для решения статических и динамических задач теории упругости предлагается вариант основных разрешающих уравнений.

Ключевые слова: теория упругости, деформации, перемещения и основные разрешающие уравнения.

Введение

Для решения статических и динамических задач теории упругости (ТУ) в компонентах перемещений обычно используются уравнения Ламе [2]. При решении задач в компонентах напряжений используются уравнения равновесия и уравнения совместности Бельтрами, записанные в компонентах напряжений. Возможен и другой вариант основных разрешающих уравнений. Уравнения Ламе являются уравнениями статики или динамики упругого тела. При тождественном удовлетворении уравнений равновесия в напряжениях с помощью функций напряжений уравнения Бельтрами - это условия неразрывности деформаций. Этими системами уравнений чаще всего пользуются при решении конкретных задач.

Основные разрешающие уравнения

Предлагаем простой вариант основных разрешающих уравнений, которых можно получит, если ввести в рассмотрение функции напряжений, тождественно удовлетворяющие уравнениям равновесия с одновременным введением функций напряжений, выраженных через компоненты перемещений, используя три из шести соотношений закона Гука. Условиями для определения введенных функций напряжений, например, трех функций Максвелла [1] будут остальные три соотношения упругости. Получающиеся уравнения, являясь условиями совместности деформаций, имеют непосредственный смысл физического закона деформирования.

Выпишем динамические уравнения ТУ и физические соотношения с учетом температурных членов:

(1)

(2)

где r-плотность, T(x, y, z)-температура, α-коэффициент температурного расширения, l и µ - коэффициенты упругости, остальные обозначения общепринятые.

(3)

При отсутствии в уравнениях (1) инерционных членов, уравнения статики упругого тела тождественно удовлетворяются, если ввести в рассмотрение три функции напряжений Максвелла j1, j2, и j3.

Введем также в рассмотрение компоненты перемещений, выраженные через функции Максвелла по формулам (3), перемещения в которых удовлетворяют трем соотношениям (2) для касательных напряжений, выраженным через функции ji (4):

. (4)

Выражая в (1,2) перемещения u, v, w через ji согласно (3) и вводя обобщенные нормальные напряжения :

уравнения (1) можно представить в виде уравнений статики:

(5)

Эти уравнения будут тождественно удовлетворяться, если напряжения выразить через функции напряжений Максвелла (4), т. е.

(6)

Истинные нормальные и касательные напряжения выражаем формулами

(7)

Для определения введенных функций j1, j2, и j3 необходимо воспользоваться первыми тремя физическими соотношениями (2) для нормальных напряжений, учитывая при этом (3) и (7). В результате получим третий вариант основных динамических уравнений ТУ:

(8)

Порядок уравнений совпадает с порядком уравнений ТУ Ламе в перемещениях. Однако они являются более простыми по структуре, поскольку в уравнениях Ламе температурный член входит под знаком первых производных, а здесь производные от T отсутствуют. При практическом использовании этой системы уравнений в процессе решения задач различными методами с той или иной степенью точности будут выполняться физические соотношения, а уравнения равновесия и условия совместности деформаций при этом всегда выполняются автоматически.

Форму записи полученных уравнений (8) можно значительно упростить. Вычитая из первого уравнения (8) второе уравнение, а также из второго третье, получим

(9)

Отсюда видно, что при отсутствии инерционных членов функции (j1 - j2), (j2 - j3), а также (j1 - j3) являются гармоническими, т. е.

где Г0 и Г1 - гармонические функции. Учитывая это, первое уравнение(10) при Т = 0 будет

Отсюда следует, что: где j3 - бигармоническая функция. Итак, общее решение уравнений ТУ выражается через одну бигармоническую и две гармонические функции. В частных случаях оно может быть выражено через одну бигармоническую и одну гармоническую или одну бигармоническую функцию. Напряжения будут выражаться по формулам (4). При этом учитывают, что

Рассмотрим теперь случай динамических уравнений (9). Если в этих уравнениях положить j1 = j2 = j3 = j, то получим уравнение

описывающее распространение в бесконечном пространстве безвихревой продольной волны расширения, движущейся со скоростью . В общем случае, при неравных между собой функциях ji уравнения (9) описывают как вихревую, так и безвихревую деформации, т. е. эти уравнения носят общий характер.

Выводы

Введенные функции перемещений (3), используя которые получили другой вариант основных разрешающих уравнений теории упругости, позволяют наиболее просто подойти к построению прикладных теорий деформирования плоских пластин /задачи "А" и "Б"/, не опираясь при этом на комплекс специально вводимых гипотез, например, гипотез типа Кирхгофа - Лява для изгиба пластин.

Литература

1. Ляв А. Математическая теория упругости. - М.-Л.: Объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР, 1935. - 674с.

2. Лейбензон Л. С. Курс теории упругости. - М.: Гостехиздат, 1947. - 464с.

the allow equations of the elasticity theory

Timerbaev R. M.1, Khakimov R. G.2

1Elabuga institute K(P)FU, 2Institute of computational mathematics and IT of K(P)FU

In this paper for the solution of the static and dynamic problems of the theory of elasticity is offered variant of the main authorizing equations.

Кеу words: elasticity theory, deformation, displacement and the main allowing equations.