Лекция 1

ЛЕКЦИЯ 1

Элементы теории вероятностей

Тема: Предмет теории вероятностей. Статистическая вероятность. Алгебра событий. Аксиоматика. Вероятность, ее свойства.

·  Теория вероятностей-математическая наука, изучающая общие закономерности случайных явлений независимо от их конкретной природы и дающая методы количественной оценки влияния случайных факторов на различные процессы.

·  Случайное явление-явление, наступление которого нельзя предвидеть в точности. Почему? Вследствие:

- незнания вызывающих их причин;

- изобилия этих причин;

- практической невозможности считаться с ними.

Примеры случайных явлений: длительность произвольного телефонного разговора; выпадение определенного количества очков на игральной кости; выигрышные номера в лотерее и т. д. Результат одного случайного явления предвидеть нельзя. Если оно повторяется многократно, то можно наблюдать вероятностно-статистическую закономерность.

Результаты опытов по бросанию монеты.

№ п/п	Авторы
1	Ж. Блюффон	4040	2048	0,5080
2		80640	39702	0,4923
3	К. Пирсон	12000	6019	0,5016
4	К. Пирсон	24000	12012	0,5005
5		10000	5087	0,5087

Пусть А - событие (наступает в опыте, которое может быть повторено с соблюдением условий неограниченное число раз), которое в данном случае заключается в выпадении герба при бросании монеты, ;mn(A)-кол-во появлений события А в “n”-опытах; hn(A)-частота появления события А в “n”-опытах.

· 

P(A)-называется статистической вероятностью появления события А. Это число около которого группируются частоты этого события при увеличении числа испытаний (статистическое определение).

hn - частота выпадения герба.

·  Возможный исход эксперимента (опыта) называется элементарным исходом или элементарным событием (w).

Пример 1: Самый простой эксперимент имеет два исхода. Бросание монеты, где исходами являются выпадение “герба” или “решки”.

·  Возможный набор исходов эксперимента будем называть пространством элементарных исходов (событий) W. В примере 1: пространство элементарных событий состоит из двух точек W={0;1}.

·  Событием называется подмножество пространства элементарных событий.

Пример 2: Бросание игральной кости один раз – пример эксперимента с большим числом исходов. W={1;2;3;4;5;6}

Пример 3: Бросание игральной кости и выпадение более 4-х очков-состоит из двух элементарных событий А={5};В={6}.

·  Объединение (сложение) событий А и В

АÈВ это А или В

wÎ(АÈВ)Û(wÎА)Ú(wÎВ)

“Ú”-“или”

Пример 4: Бросаем игральную кость и рассматриваем два события :А={1;3} (выпадение единицы или тройки); и В={1;3;4} (выпадение единицы, тройки, четвёрки).

Здесь: АÈВ={1;3;4}.

·  Пересечение (произведение) событий А и В

АÇВ это “А и В” одновременно.

wÎ(АÇВ)Û(wÎA)Ù(wÎB)

“Ù”-“и”

Здесь: АÇВ={1;3} (из примера 4)

·   

·  Будем говорить, что событие А содержится в событии В (AÍB), если любое элементарное событие из А входит и в В.

Здесь АÍВ (из примера 4)

·   

·  События А и В совпадают или равны (А=В) если АÍВ и ВÍА.

·   

·  События А и В называются несовместными, если АÇВ=Æ.

Пример 5: Бросаем игральную кость и рассматриваем события А={1;3}; В={3;5}; С={5;6}. Здесь: АÇВ={3}; AÇC=Æ. AÈB={1;3;5}; AÈC={1;3;5;6}.

·   

· 
Дополнением () к событию А (или противоположное к А) называется событие, состоящее из тех элементарных событий, которые не входят в А.

Здесь (из примера 5): .

·  Разностью между событиями А и В (А\В) будем называть событие, состоящее из тех элементарных событий, которые входят в А, но не входят в В.

Здесь (из примера 5): С\В={6}; C\A=C, так как СÇА=Æ.

Пусть АÎW (то есть А-событие) - произвольное подмножество пространства элементарных событий W для некоторого эксперимента. Проведение эксперимента сводится к наблюдению элементарного исхода wÎW. Если wÎА, то говорят, что произошло событие А. Если же это не так, то говорят, что событие не произошло (то есть wÏА).

·  Событие, отвечающее всему множеству элементарных исходов, называется достоверным событием (оно происходит всегда, так как wÎW " w).

·   

·  Событие, отвечающее пустому множеству Æ, называется невозможным.

·   

Отметим справедливость формул:

Покажем справедливость последнего из них: то есть нужно показать, что и .

Пусть .

И обратно: , т. е. .

Законы двойственности Де Моргана

и .

·  Множество событий {Ai} называют счетным, если элементы этого множества можно занумеровать в бесконечную последовательность: A1, А2, А3,…, Аn, … .

Для счетного множества событий {Ai}i=1 операции пересечения и объединения событий определяются так же, как и для конечного числа событий.

·  - событие, заключающееся в осуществлении хотя бы одного из событий: A1, А2, … , An, … .

·  - событие, заключающееся в осуществлении всех

событий: А1, А2, … , An, …одновременно!

“s”-алгебра событий.

Пусть F-система событий (или F-множество подмножеств W), которая удовлетворяет условиям:

1)WÎF, ÆÎF.

2)Если А1, А2, …ÎF, то ÎF

3)

Система событий F, удовлетворяющая этим условиям называется “s”-алгеброй событий.

·  События А1,А2, …, An образуют полную группу событий, если хотя бы одно из них в результате испытания непременно должно произойти, то есть А1+А2+…+Аn=W.