Применение производной к исследованию функции

Применение производной к исследованию функции

Пусть y=f(x) –заданная функция. Исследование функции и построение ее графика проводится по следующей схеме.

1.  Находится область определения функции, устанавливаются множества точек непрерывности и разрыва заданной функции, а так же точки пересечения графика функции с осями координат.

  2. Исследуется функция на четность-нечетность и тем самым устанавливается возможную симметрию графика функции (относительно оси или относительно начала координат). Для этого записывается выражение

и сравниваем его :

3.  Исследуется функция на периодичность.

4.  Находятся интервалы возрастания и убывания функции, которые разделяются ее локальными экстремумами (с помощью первой производной y′=f′(x)):

- локальный максимум разделяет интервалы возрастания и убывания;

- локальный минимум разделяет интервалы убывания и возрастания, следующие в положительном направлении оси .

Функция f возрастает на интервале Функция f убывает на интервале

5. Строится график функции.

ПРИМЕР 1: Исследовать функцию и построить график.

Решение:

1.  Функция определена на всей числовой оси.

Точки пересечения с осью : =0,

.

Точки пересечения с осью : .

.

2.  .

Функция не является ни четной, ни нечетной.

3.  Функция не периодична.

4. 

Находим критические точки:

.

Рассматриваемая функция имеет две критические точки, которые разбивают область определения на три интервала. Рассмотрим поведение функции на этих интервалах и представим это поведение в виде таблицы:

x		-3		-1
	+	0	-	0	+
		0		-4
		max		min

5.  Строим график функции:

ПРИМЕР 2: Исследовать функцию и построить график.

Решение:

6.  Функция определена на всей числовой оси.

Точки пересечения с осью :

.

Точки пересечения с осью :

.

1. 

2.  Функция не является ни четной, ни нечетной.

3.  Функция не периодична.

4. 

Находим критические точки:

.

Рассматриваемая функция имеет две критические точки, которые разбивают область определения на три интервала. Рассмотрим поведение функции на этих интервалах и представим в виде таблицы:

x		-1		3
	-	0	+	0	-
		-3		1
		min		max

5.  Строим график функции:

x

 

y

ПРИМЕР 3: Исследовать функцию и построить график.

Решение:

1.  Функция определена на всей числовой оси.

Точки пересечения с осью :

.

Точки пересечения с осью :

.

2. 

Функция четная.

3.  Период функции равен .

4. 

Находим критические точки:

.

Так как функция периодична и ее период равен , поэтому достаточно рассмотреть поведение функции на интервале равном ее периоду.

x			0
	0	+	0	-	0
	1		1		1
	min		max		min

5.  Строим график функции:

ПРИМЕР 4: Функция определена на промежутке (-2;7). На рисунке изображен график ее производной. Укажите точку локального минимума функции на промежутке (-2;7).

Решение: Найдем по данному графику точки, в которых производная равна 0, это точки . В точке производная меняет свой знак с минуса на плюс, а в точке производная меняет свой знак с плюса на минус. Следовательно, точкой минимума является точка .

Ответ: .