ОПТИМИЗАЦИОННЫЙ МЕТОД В ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТОУПРУГОСТИ
,
Казахский национальный педагогический университет имени Абая
Алматы, Казахстан
E-mail: *****@***ru; *****@***ru
ANNOTATION
One of the substitutions of return problems, which is connect with electrodynamical vibrative elastic surroundings is considered. The movement of elastic conductive surroundings in electromagnetic field is described with two systems equations [1]; [2]: common system of differentiable equations theory of elasticity and system of equation, which describes spreading of electromagnetic waves across the elastic conductive surroundings.
Essence of straight problems consists in following: to find components of magnetic fields and elastic surroundings in known elastic and electromagnetic characteristics of surroundings.
The aim of this work consists in that to show the possibility of application of optimization method [3] to simultaneously definition of elastic electromagnetic characteristics of surrounding also forms of sounding signal. That sort of problem is knows as return problems.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
В работе рассматривается одна из постановок обратных задач, связанная с электродинамикой вибрирующих упругих сред. Движение упругой проводящей среды в электромагнитном поле описывается двумя системами уравнений ([1],[2]): cистемой дифференциальных уравнений теории упругости:
(1)
и системой уравнений, описывающих распространение электромагнитных волн через упругую проводящую среду, вида:
(2)
(3)
Здесь: 
- тензор напряжений, который в случае изотропной магнитоупругой среды имеет вид:
(4)
- плотность среды; 
- коэффициенты Ламе; 
- символ Кронекера; 
- электрическая и магнитная проницаемости; 
- проводимость среды.
- векторы напряженности, соответствующие малым возмущениям упругого и электромагнитных полей. 
- постоянный вектор, относящийся к невозмущенному состоянию среды.
Таким образом, уравнения (1)–(3) описывают процесс взаимодействия электромагнитных и упругих волн.
Сформулируем постановку прямой задачи. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат 
. Пусть упругие колебания возникают под воздействием силового источника, сосредоточенного в начале координат.
(5)
- обобщенная функция Дирака; 
- граница раздела сред “земля” 
- “воздух” 
.
Условие, что до момента времени 
электромагнитоупругое поле отсутствует, означает:
(6)
Для выделения единственности решения, требуем:
(7)
Прямая задача: При известных упругих и электромагнитных характеристиках среды и вектора найти вектор функции 
из соотношений (1)–(7).
Основная цель настоящей работы состоит в том, чтобы показать возможность применения оптимизационного метода [3] к одновременному определению упругих и электромагнитных характеристик среды, а также формы зондирующего сигнала.
Приведем алгоритм решения обратной задачи в одномерной постановке. С этой целью введем новые функции:
Где: 
- означает обобщенное преобразование Фурье по переменным 
, а 
- двойственные к ним переменные. Тогда из системы уравнений (1)–(7) получим систему уравнений относительно функций 
вида:
(8) 
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
Где: 
- скорость распространения продольных упругих волн, 
- постоянная, характеризующая магнитное поле Земли, 
.
Обратная задача: Требуется определить функции 
, если относительно решения задач (8)–(10) и (11)–(14) известны дополнительные информации:
а также функция 
и числа 
.
2. ОПТИМИЗАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
Для численного решения обратной задачи нами использовался оптимизационный подход. Суть которой состоит в следующем.
Найти управление 
, доставляющее минимум функционалу:
(15)
Здесь: 
- приближенные значения искомых функций 
соответственно. Точка минимума функционала есть точное решение обратной задачи.
Начиная с этого момента нам удобно, как это принято в теории оптимального управления, обозначать особо зависимость решения прямой задачи от искомых значений, т. е. обозначения 
означают значения функций, соответствующие значениям 
.
Для минимизации функционала (15) применяем метод сопряженных градиентов [4], общая схема которого заключается в следующем. Зададим начальное управление 
. Предположим, что управление 
уже найдено. Тогда компоненты управления 
определяются по формулам:
,
(16)
в котором коэффициент спуска 
определяется из условий:
и
Аналогично, для компоненты управления 
имеем:
(17)
где 
определяется из условия:
и
.
И, наконец, для компоненты 
:
(19)
Где:
- градиент функционала (15).
Для вычисления градиента функционала рассмотрим приращение:
(19)
Введем в рассмотрение вспомогательные задачи, которые в дальнейшем будем называть сопряженными:
(20)
(21)
(22)
(23)
и относительно функции 
вида:
(24)
(25)
(26)
(27)
Поступая стандартным образом, как в [3], запишем приращение функционала (19) иначе:
Явное выражение для вычисления градиента функционала (15), имеет вид:
где:
Имея явные формулы для вычисления градиента функционала итерационную процедуру (16)-(18) можно осуществить по схеме:
10 Зададим начальное управление 
. Решая прямую задачу (8)–(10) находим 
. Зная это, вычисляем правую часть уравнения (11), затем, решая прямую задачу (11)–(14), определяем 
20 Используя полученные решения пункта 10, решая прямую задачу (24)–(27), находим функцию 
. Используя этот результат и вычислив правую часть уравнения (20) из соотношений (20)–(23), определяем решение сопряженной задачи 
.
30 По формуле (31) находим компоненты градиента функционала, т. е. находим 
40 Вычисляя коэффициенты 
и по формулам (16), (17), (18), находим приближение 
т. е. управление 
и т. д.
3. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПРЯМОЙ И СОПРЯЖЕННОЙ ЗАДАЧИ
Для численного решения прямых и сопряженных задач, присутствующих в выше предложенной схеме, проведем аппроксимацию следующим образом [5].
Введем в рассмотрение сеточную область:
Придерживаясь стандартных обозначений [5], аппроксимируем прямую задачу (8)–(10) разностной схемой порядка 
Аналогично, аппроксимируем прямую задачу (11)–(14) разностной схемой порядка 
В сопряженных задачах счет по переменной t производим от слоя j к слою j–1 (
) поэтому задачу (24)–(27) аппроксимируем следующим образом:
Этим же способом произведем аппроксимацию сопряженной задачи (20)-(23):
Выше приведенные схемы, как в случае прямой разностной задачи, так и сопряженной, реализуются методом прогонки [5].
Случай применения оптимизационного метода в обратной задаче электромагнитоупругости в квазистационарном приближении рассматривался в работе [6].
ЛИТЕРАТУРА
1. A. Lorenzi`. V. G.Romanov. Identification of the electromagnetic coefficient connected with deformation currents. //Inverse problems, 1793, v.9, pp. 301-317.
2. V. G.Romanov. On an inverse problem for a coupled system of equations of electrodynamics and elasticity. //J. of Inverse and III-Posed Problems, 1795, v.3, N0.4, pp. 319-332.
3. K. T.Iskakov, S. I.Kabanihin. The solution of one-dimensional inverse problem of geoelectrics by the method of conjugate gradients. //Russian Journal of Theoretical and Applied Mechanics. USA. New York, 1791, N0.3, pp. 78-88.
4. . Методы решения экстремальных задач. М., Наука, 1781, 400с.
5. . Теория разностных схем. М., Наука, 1777, 677с.
6. , . Оптимизационный метод решения в обратной задаче электромагнитоупругости в квазистационарном приближении/ Вестник КарГУ №1(9), 1798, с.40-47.
