Глава 4. Теория вероятностей.
§ 1. Классическое определение вероятности.
Определение 1. Отношение т/п числа т опытов, в которых событие А появилось, к общему числу п проведенных опытов называется частотой события А.
Оказывается, что при многократном повторении опыта частота события принимает значения, близкие к некоторому постоянному числу. Например, при многократном бросании игральной кости частота выпадения каждого из чисел очков от 1 до 6 колеблется около числа 1/6.
Многократно проводились опыты бросания однородной монеты, в которых подсчитывали число появления «герба», и каждый раз, когда число опытов было достаточно велико, частота события «выпадение герба» незначительно отличалась от 1/2. Для наглядности приводим табл. 1 результатов, полученных в XVIII веке французским естествоиспытателем Бюффоном и в начале 20 века – английским статистом Пирсоном.
Таблица 1
Экспериментатор | Число бросаний | Число выпадений герба | Частота |
Бюффон | 4 040 | 2 048 | 0,5080 |
Вероятность – одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия.
Приведём определение, которое называют классическим. Далее укажем слабые стороны этого определения и приведём другие определения, позволяющие преодолеть недостатки классического определения.
Рассмотрим пример. Пусть в урне содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причём 2 из них красные, 3 синие, и 1 белый. Очевидно, возможность вынуть на удачу из урны цветной (т. е. красный или синий) шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Можно ли охарактеризовать эту возможность числом? Оказывается можно. Это число и называют вероятностью события (появления цветного шара). Таким образом, вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события.
Поставим перед собой задачу дать количественную оценку возможности того, что взятый на удачу шар цветной. Появление цветного шара будем рассматривать в качестве события А. Каждый из возможных результатов испытания (испытание состоит в извлечении шара из урны) назовём элементарным исходом (элементарным событием). Элементарные исходы обозначим через В1,В2,В3 и т. д. В нашем примере возможны следующие 6 элементарных исходов : В1 – появился белый шар ; В2,В3 – появился красный шар ; В4,В5,В6 – появился синий шар. Легко видеть, что эти исходы образуют полную группу попарно несовместных событий (обязательно выявится только один шар) и они равновозможны (шар вынимают на удачу, шары одинаковы и тщательно перемешаны).
Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовём благоприятствующими этому событию. В нашем примере благоприятствуют событию А (появлению цветного шара) следующие 5 исходов : В2,В3,В4,В5,В6.
Таким образом, событие А наблюдается, если в испытании наступает один, безразлично какой, из элементарных исходов, благоприятствующих А; в нашем примере А наблюдается, если наступит В2, или В3, или В4, или В5, или В6. В этом смысле событие А подразделяется на несколько элементарных событий (В2,В3,В4,В5,В6.); элементарное же событие не подразделяется на другие события. В этом состоит различие между событием А и элементарным событием (элементарным исходом).
В рассматриваемом примере всего элементарных исходов 6; из них 5 благоприятствуют событию А. Следовательно, вероятность того, что взятый шар окажется цветным, равна Р(А) = 5/6. Это число и даёт ту количественную оценку степени возможности появления цветного шара, которую мы хотели найти. Дадим теперь определение вероятности.
Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.
Итак, вероятность события А определяется формулой:
Р(А) =
, где m – число элементарных исходов, благоприятствующих А; n – всех возможных элементарных исходов испытания.
Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Из определения вероятности вытекают следующие её свойства:
Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.
Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m = n, следовательно,
Р(А) = = 
= 1.
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприпятствует событию. В этом случае m = 0, следовательно,
Р(А) = = 
= 0 .
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключённое между нулём и единицей.
Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 < m < n, значит, 0 < < 1 , следовательно,
0 < Р (А) < 1
Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству,
Классическое определение вероятности используется при решении различных задач теории вероятностей. Рассмотрим одну из простейших таких задач.
Пусть в ящике имеются два красных, два белых и шесть синих шаров. Наудачу вынимаем два шара. Какова вероятность событий А — «вынуты два красных шара» и В— «вынуты два синих шара»?
Число всех исходов испытания равно числу способов вытащить 2 шара из 10: п = 
= 
= 45, причем все исходы равновозможны.
Исход, благоприятный событию А, только один (поскольку красных шаров всего 2), значит m=1,следовательно, Р(А) = 
.
Число исходов, благоприятных событию В, равно числу способов вытащить 2 шара из 6: т =
= = 15, значит, Р(В) =
Классическое определение вероятности не требует того, чтобы испытания практически проводились, достаточно лишь посчитать теоретически число всех исходов и число благоприятных, а затем применить соответствующую формулу. Но она может быть использована лишь тогда, когда все события равновозможны и образуют полную группу попарно несовместных событий.
Однако в реальных ситуациях далеко не все однотипные события являются равновозможными. Это можно пояснить на следующем примере.
Допустим, что два стрелка стреляют по мишени. Если события «попадание» и «промах» равновозможны, то вероятность попадания для каждого из них равна 
. Но если, например, первый стрелок является профессионалом, а второй никогда не брал в руки винтовку, то вероятность их попадания, очевидно, разная. Как оценить их возможности? Обычно эта оценка дается из практики. Если первый стрелок попадает 98 раз из 100 выстрелов, а второй — только 10, то за вероятность попадания первого стрелка логично принять Р1 = 
= 0,98, а за вероятность попадания второго Р2 = 
= 0,1. Р1 и Р2 в данном примере — статистические значения вероятности.
§ 2. Определение (статистическое определение вероятности).
Пусть проводится некоторое испытание, в результате которого может наступить событие А. Предположим что такое испытание проведено n раз, и при этом событие А появилось ровно m раз. Тогда число р=
называется статистической вероятностью (или относительной частотой) события А в рассматриваемой серии испытаний.
Например, рассмотрим события — рождение мальчика или рождение девочки. Кажется, что эти события равновозможны, т. е. вероятность рождения мальчика равна . Но статистика рождений не вполне согласуется с нашим «кажется». В разное время в различных странах мальчиков рождается несколько больше, чем девочек, — примерно 518 мальчиков на каждую тысячу детей. Значит, статистическая вероятность рождения мальчика равна р = 0,518.
Подчеркнем еще раз, что в отличие от классического определения вероятности, статистическая вероятность может быть вычислена лишь в том случае, если испытания действительно проводились.
Часто при решении задач мы сталкиваемся с событиями, вычислить вероятность которых мы не можем с помощью классического или статистического определения. Такая ситуация возникает в случае, когда число различных исходов испытания бесконечно.
§ 3. Геометрическое определение вероятности.
Если множество Е всех исходов опыта есть, например, некоторое множество на плоскости, то можно воспользоваться следующим геометрическим определением вероятности.
Пусть на плоскости задана некоторая область D, площадь которой равна S(D), и в ней содержится область d, площадь которой равна s(d). В области D наудачу ставится точка. Предположим, что вероятность попадания точки в какую-либо часть D пропорциональна площади этой части и не зависит от ее расположения и формы.
Тогда вероятность события. А — «точка попадает в область d» равна числу
Р(А) =
Отметим, что в этом определении заранее предполагается, что все точки области D «равноправны» между собой, т. е. наугад поставленная в области точка может с равным успехом попасть в любое место этой области, и соответственно вероятность попадания в некую область d оказывается пропорциональна ее площади. Таким образом, в определении геометрической вероятности вновь присутствует идея равновозможности (хотя и в несколько иной форме по сравнению с классическим определением — в форме, приспособленной для случая бесконечного числа исходов). В ситуациях, когда исходы нельзя считать равновозможными, понятие геометрической вероятности неприменимо.
Пример. Дано: АВ = 12 см, AM = 2 см, MN= 4 см (см. рис.). На отрезке АВ случайным образом отмечается точка X. Какова вероятность того, что точка X попадает на отрезок: 1) AM; 2) AN; 3) MN; 4) MB; 5) АВ?
Решение.
Исходами данного эксперимента являются попадания точки на отрезок АВ; все исходы считаются равновозможными (то есть «отметка» может быть сделана в любой точке отрезка АВ с равной возможностью), но количество исходов бесконечно велико. Событиями в таком эксперименте будут попадания точки - отметки на какой-либо отрезок конечной длины, целиком лежащий на АВ. При сделанных допущениях вероятности соответствующих событий могут быть найдены по формуле геометрической вероятности.
Найдем вероятности событий:
1) А -«точка Х попадет на отрезок AM»; длина AM равна 2 см, а длина АВ 12 см; вероятность
Р(А) =
2) В - «точка X попадет на отрезок AN»; длина AN =2 + 4 = 6 см; вероятность Р(В) =
3) С - «точка X попадет на отрезок MN»; длина MN равна 4 см; вероятность Р(С) =
4) D - «точка Х попадет на отрезок MB»; длина MB равна 12 - 2 =10 см; Р(D)=
5) Е - «точка Х попадет на отрезок АВ»; вероятность P(E)=
Ответ: 1)
; 2); 3)
; 4) 
; 5)1.
