Логарифмические и показательные уравнения и неравенства.
Показательные уравнения
Показательной функцией называется функция вида 
Эта функция определена при любых 
, и всегда положительна.
Свойства степенней действительных чисел:
ПРИМЕР 1: Решить уравнение
Решение: Преобразуем данное уравнение:
Ответ: 
.
ПРИМЕР 2: Решить уравнение 
.
Решение: Преобразуем данное уравнение, используя свойства степеней:
Введем новую переменную 
Корень 
, не удовлетворяет условию 
, поэтому единственное решение исходного уравнения определяется из соотношения
Ответ: 
ПРИМЕР 3: Решить уравнение 
.
Решение: Числа 
являются взаимно обратными
Введем новую переменную
Тогда исходное уравнение запишется в виде:
откуда находим значение переменной 
Ответ: 
Показательные неравенства
При решении показательных неравенств надо учитывать, что показательная функция 
возрастает при 
и убывает при
.
Неравенство 
равносильно неравенству
Неравенство 
равносильно неравенству
ПРИМЕР 4: Решить неравенство 
.
Решение: Исходное неравенство равносильно неравенству:
Ответ: 
.
ПРИМЕР 5: Решить неравенство 
Решение: Основание степени меньше единицы, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству:
Ответ: 
ПРИМЕР 6: Решить неравенство 
.
Решение: Введем новую переменную
Исходное уравнение примет вид:
Решением полученного неравенства является множество
С учетом условия получаем . Следовательно, 
откуда 
.
Ответ: 
.
Логарифмические уравнения
Логарифмом числа 
по основанию 
, где 
, называется показатель степени 
, в которую надо возвести , чтобы получить .
Основное логарифмическое тождество: 
.
Основные свойства логарифмов
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
;
7. 
;
8. Если 
;
9. Если 
;
10. Если 
ПРИМЕР 7: Решить уравнение 
Решение: Воспользовавшись формулой логарифма степени, перепишем исходное уравнение в виде 
.
Но значение 
, так же удовлетворяет исходному уравнению. Потеря корня , произошла при неравносильном переходе от логарифма степени к удвоенному логарифму.
Ответ: 
ПРИМЕР 8: Решить уравнение 
.
Решение: В соответствии с определением логарифма получаем:
Ответ: 
.
ПРИМЕР 9: Решить уравнение 
Решение: Согласно основному логарифмическому тождеству,
Заметим, что 
по основному логарифмическому тождеству, правая часть исходного уравнения равна 30. Поэтому исходное уравнение равносильно системе
Решив эту систему, получаем 
.
Ответ: .
ПРИМЕР 10: Решить уравнение 
.
Решение: Уравнение такого вида содержащие неизвестную величину, как в основании, так и в показателе степени, можно решать, логарифмируя левую и правую части по некоторому основанию. В данной задаче целесообразно прологарифмировать обе части по основанию 10, поскольку в условии уже имеется десятичный логарифм.
Получаем:
Введем новую переменную 
. Тогда полученное уравнение запишется в виде
Решив последнее уравнение, находим:
Ответ: 
.
Логарифмические неравенства
Неравенство
при равносильно системе неравенств
а при – системе неравенств
Приведенные выше логарифмические неравенства обобщаются на логарифмические неравенства с переменным основанием.
Неравенство
Равносильно совокупности двух систем неравенств
ПРИМЕР 11: Решить неравенство
Решение: Представим правую часть в виде 
. Основание логарифма меньше единицы, значит, при потенцировании знак неравенства следует изменить. Получаем неравенство:
Необходимо записать условие, при котором оно существует, получаем систему:
Решив систему, находим 
.
Ответ: .
ПРИМЕР 12: Решить неравенство
Решение: Произведем преобразования:
Введем новую переменную 
. Исходное неравенство запишем в виде:
Неравенство (
) можно решать, перейдя к совокупности систем:
Возвращаясь к исходной переменной, получаем:
Ответ: 
ПРИМЕР 13: Решить неравенство
Решение: Исходное неравенство равносильно совокупности двух систем
Получаем: 
Ответ:
