Общие свойства минимально-фазовых устойчивых звеньев

2.3.1 Общие свойства минимально-фазовых устойчивых звеньев

Общим показателем свойств звена является принадлежность нулей передаточной функции к левой полуплоскости. Комплексный коэффициент передачи можно выразить как

.

Рассмотрим сомножитель числителя . Эта разность представляет собой вектор, начало которого лежит в точке , а конец - на мнимой оси в точке . Фаза этого вектора характеризует поворот этого вектора относительно вещественной оси против часовой стрелки.

На рис. 2.3. построены два таких вектора для различных положений точки , обозначенных и . Из построения видно, что при одном и том же значении модуля комплекса его фаза меньше в том случае, когда лежит в левой полуплоскости. Поэтому звенья, все нули передаточной функции которых лежат в левой полуплоскости , называются минимально-фазовыми. Звенья, передаточные функции которых имеют хотя один нуль, лежащий в правой полуплоскости, называются неминимально - фазовыми.

Для минимально фазовых устойчивых звеньев между амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристикой существует однозначная зависимость и, следовательно, амплитудно-частотная характеристика однозначно определяет передаточную функцию звена.

2.4.1 Простейшие звенья. Пропорциональное звено

Самым простым является звено, выходная величина которого прямо пропорциональна входной величине. Уравнение такого звена

,

где k - коэффициент передачи (усиления) звена.

Предполагается, что передача сигнала от входа к выходу производится мгновенно без какой-либо инерции. Поэтому пропорциональные звенья называются безинерционными. Если на вход пропорционального звена подать синусоидальный сигнал , то на выходе появится сигнал . В комплексной форме

.

Комплексный коэффициент передачи

.

Годограф комплексного коэффициента передачи при изменении частоты имеет вид точки, сдвинутой на расстояние k от нуля по вещественной оси.

Переходя от коэффициента усиления к передаточной функции , а затем к переходной и весовой функциям, получаем

,

.

Графическое изображение переходной и весовой функции пропорционального звена приведено на рис. 2.4.

2.4.2 Интегрирующее звено

Выходная величина пропорциональна интегралу по времени от входной величины:

,

где - коэффициент пропорциональности. Такие звенья называются интегрирующими.

Если на вход интегрирующего звена подать синусоидальный сигнал , то выходной сигнал y равен

или

и .

Частотный годограф и частотные характеристики интегрирующего звена показаны на рис. 2.5.

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика в функции имеет вид прямой с наклоном , т. е. при изменении частоты в 10 раз уменьшается на 20 дБ. График интегрирующего звена пересекает ось абсцисс при частоте .

Переходя от коэффициента передачи к передаточной функции

,

а затем к переходной и весовой функциям, получим

,

.

2.4.3 Дифференцирующее звено

Выходная величина y зависит от входной величины x как производная

,

где k - коэффициент пропорциональности.

Комплексный коэффициент передачи

.

Логарифмическая частотная характеристика имеет положительный наклон в 20дБ/дек.

Передаточная функция дифференцирующего звена

,

а переходная и весовая функции соответственно

,

.

Производная от - функции на рис. 2.9 изображена в виде двух импульсов второго порядка, интервал между которыми стремится к нулю.

2.5 Звенья первого порядка

2.5.1 Инерционное звено

Одним из самых распространенных звеньев систем автоматики является инерционное звено. Оно описывается уравнением

.

Перейдем в выражении от мгновенных значений к их частотным спектрам или к гармоническим сигналам:

.

Частотные характеристики для показанной функции

,

.

Чтобы построить логарифмическую амплитудно-частотную характеристику, представим её в виде

.

При построении логарифмических характеристик пользуются также их асимптотическими приближениями. Для инерционного звена асимптотическое приближение можно получить, заменяя точную характеристику двумя асимптотами при значениях и . Первая асимптота находится путем отбрасывания , а вторая - путем отбрасывания единицы в том же выражении. Таким образом, асимптотическая характеристика описывается двумя уравнениями:

.

2.5.2 Форсирующее звено

Звено, описываемое дифференциальным уравнением

называется форсирующим звеном. Такое звено получается в результате

параллельного соединения пропорционального и дифференцирующего звеньев. Для этого звена получаем:

,

модуль этого выражения

,

а фаза

.

ЛАХ звена имеет вид:

,

.

Передаточная функция форсирующего звена может быть представлена суммой передаточных функций пропорционального и дифференцирующего звена.

Переходная и весовая функции форсирующего звена имеют вид суммы соответствующих функций простейших звеньев:

,

.

2.5.3 Инерционно-дифференцирующее звено

Звено, описываемое дифференциальным уравнением вида

,

называется инерционно-дифференцирующим. Частотная передаточная функция звена имеет вид:

.

Частотные характеристики для функции имеют вид:

, ,

.

Асимптотические характеристики состоят из двух полупрямых:

Передаточная функция инерционно-дифференцирующего звена

.

Произведя обратное преобразование Лапласа, получим выражение для переходной функции звена

.

После дифференцирования этого выражения, находим весовую функцию звена:

.

Если экспериментально определены частотные характеристики инерционного или инерционно-дифференцирующего звена, то по этим характеристикам непосредственно могут быть определены значения и . Фазовый сдвиг между сигналами входа и выхода, равный углу , имеет место при . Из этого условия определяется постоянная времени звена. Коэффициент находится по диаметру окружности частотной характеристики.

2.5.4 Инерционно-форсирующее звено

Звено, описываемое дифференциальным уравнением первого порядка в наиболее общем виде

называется инерционно-форсирующим, или упругим, звеном.

Существенным параметром инерционно-форсирующего звена является коэффициент . Если , то звено по своим свойствам приближается к интегрирующему и инерционному звеньям. Если , то звено ближе к дифференцирующему и инерционно-дифференци­рующему звеньям.

Комплексный коэффициент передачи инерционно-форсирующего звена

,

а передаточная функция звена

.

Звено, для которого , называется упругим интегрирующим звеном, а звено, для которого - упругим дифференцирующим.

Частотные характеристики при различных значениях построены для нормированных значений в зависимости от относительной безразмерной частоты . Учитывая, что , получим

,

,

.

Находим экстремум фазовой характеристики . Максимальный фазовый сдвиг имеет место при частоте .

Логарифмические характеристики описываются уравнением

.

Асимптотические характеристики в зависимости от величины выражаются различно:

Переходная функция определяется как

,

и соответствующая весовая функция

.

2.5.5 Колебательное звено

Колебательное звено описывается уравнением второго порядка

при степени затухания , что соответствует комплексным корням

характеристического уравнения .

Постоянная времени T колебательного звена связана с его резонансной частотой соотношением и в раз меньше периода резонансных колебаний . Иногда уравнение записывается в виде

,

где . Примерами колебательного звена могут служить упругая механическая система с существенным влиянием массы, электрический колебательный контур.

Переходя в дифференциальном уравнении к гармоническим сигналам, получим комплексный коэффициент передачи колебательного звена

.

Вводя безразмерную величину , можно получить комплексный коэффициент передачи в виде

.

Частотные характеристики колебательного звена приведены на рис. 2.14.

Годограф частотной характеристики проходит через два квадранта - 4 и 3 - пересекает мнимую ось при частоте , когда . С уменьшением петля, очерченная годографом, увеличивается, и при коэффициенте характеристика вырождается в две полупрямые

.

По экспериментальному частотному годографу реального звена могут быть найдены параметры соответствующего колебательного звена. По точке 1 находится величина , а по точке 2 находится значение и .

Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики колебательного звена выражаются уравнениями:

,

.

При частоте эти характеристики соответственно проходят через точки

и . Для коэффициента кривая имеет максимум

при .

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика колебательного звена описывается уравнением

.

Вблизи точки резонанса эта характеристика сильно зависит от степени затухания . С удалением от резонансной частоты характеристика практически перестает зависеть от коэффициента .

Для колебательного звена пользуются асимптотическими характеристиками

.

Передаточная функция колебательного звена

и корни характеристического уравнения будут равны

,

где - коэффициент затухания; - собственная частота колебаний звена.

Переходная функция звена

.

Весовая функция звена

.

По экспериментальным переходным характеристикам реального звена можно найти параметры соответствующего колебательного звена. По графику определяют и вычисляют все параметры звена:

; ; ; .

Если , то характеристическое уравнение звена имеет отрицательные вещественные корни и звено эквивалентно соединению двух инерционных звеньев. Такое звено называется апериодическим звеном второго порядка.