Методика работы с рядами с нулевыми членами

УДК517.5

МЕТОДИКА РАБОТЫ С РЯДАМИ С НУЛЕВЫМИ ЧЛЕНАМИ

Балтийская государственная академия РФ

Выводы о сумме нулевого ряда в [1] говорят о том, что вопрос о пустых рядах в более широком смысле слова не является тривиальным и заслуживает такого же внимания, как и все остальные.

Там же в [1] показано, что пустые ряды, полученные из арифметической прогрессии и геометрической прогрессии , имеют различные ответы о сумме ряда:

Сумма пустой арифметической прогрессии отсутствует, о чём говорит неопределённость вида , а сумма геометрической прогрессии равна нулю.

Особый случай суммы бесконечной арифметической прогрессии при и в соответствии с предельным переходом в выражении арифметической прогрессии записывается в виде:

Неопределённость типа показывает, что сумма арифметической прогрессии при и отсутствует, она неопределённа.

Особый случай суммы бесконечной геометрической прогрессии, когда её параметры и характеризуются выражением

На первый взгляд оба ряда пустые и содержат нулевые слагаемые. Вопрос о сходимости любого ряда ― это вопрос о наличии или отсутствии предела частичных сумм. В рассматриваемых случаях арифметической и геометрической прогрессий известны аналитические выражения частичных сумм и их пределов. Именно по этой причине различные результаты суммирования двух различных пустых бесконечных рядов не могут подлежать никакому сомнению. Здесь остаётся только найти удовлетворительное объяснение данному факту. Очевидно, это объяснение лежит на поверхности.

Арифметическая прогрессия является сугубо расходящимся рядом, не имеющим конечной суммы даже при нулевых параметрах, ранее было показано, что она не имеет ни одной точки сходимости.

Сходимость же геометрической прогрессии, в отличие от арифметической, обеспечивается в пределах значений q от –1 до +1. Величина параметра q=0 лежит в середине этого интервала.

Из этого можно заключить, что если пустой ряд получен из ряда сходящегося, то его сумма всегда будет равна нулю и, наоборот, если пустой ряд получен из ряда расходящегося, то его сумма всегда будет неопределённой .

Проверка этого положения с помощью любого признака сходимости (Даламбера, Коши и др.) неизменно подтверждает это положение.

Так, например, для пустой арифметической прогрессии (a=0, r=0) условие Даламбера даёт:

Для геометрической прогрессии при a 0, q0 из условия Даламбера имеем:

Из этих примеров видно, что признак Даламбера однозначно подтверждает сказанное.

Для той же самой пустой арифметической прогрессии признак Коши даёт:

Поскольку признак Коши несколько сильнее признака Даламбера, он и здесь проявляет себя так же, давая двойную неопределённость.

Для пустой геометрической прогрессии признак Коши даёт:

,

подтверждая всё сказанное.

Эти же выводы подтверждаются и при исследованиях необходимого признака сходимости. Для пустой арифметической прогрессии он записывается в виде:

В отношении пустой геометрической прогрессии необходимый признак так же подтверждает её сходимость:

Таким образом, на эталонных примерах арифметической и геометрической прогрессий со всех сторон показано, что существование нулевой суммы пустого ряда или её отсутствие зависит от сходимости или расходимости этого ряда при значении х=0. Как видно из примеров, в случае пустого ряда, все признаки сходимости, позволяющие определить наличие или отсутствие нулевой суммы, даже более эффективны, чем в обычных случаях.

Наличие нулевой суммы у пустых степенных рядов, полученных разложением функций непрерывных в точке , подтверждается следующими примерами разложений:

1. Алгебраические функции

2. Тригонометрические функции

3. Показательные функции

4. Логарифмические функции

5. Гиперболические функции

6. Обратные тригонометрические функции

Все приведённые выше пустые ряды, полученные разложением в степенные ряды функций сходящихся при x=0, имеют нулевые суммы.

Однако, не следует думать, что все пустые степенные ряды, имеют нулевую сумму. Приведём примеры сугубо расходящихся степенных рядов, из которых частными случаями получаются пустые ряды с неопределённой суммой. Так, например, степенной ряд вида:

при x=0 даёт пустой ряд с неопределённой суммой:

Этот вывод можно подтвердить даже при неизвестном аналитическом выражении суммы такого ряда. Анализ его сходимости по признаку Даламбера даёт:

.

Очевидно, что разговор о нулевой сумме ряда в этом случае беспредметен, если даже условие Даламбера даёт неопределённость.

Другой пример степенного ряда

при даёт пустой ряд с неопределённой суммой:

Как и в предыдущем примере, отсутствие нулевой суммы подтверждается анализом сходимости этого ряда по признаку Даламберу.

Главный вывод о сумме пустого ряда состоит в том, что пустой ряд, полученный из сходящегося в точке ряда, имеет нулевую сумму, а пустой ряд, полученный из расходящегося в точке ряда, не имеет определённой суммы, т. е. она выражается в виде неопределённости .

Литература

1., . Проблемы и решения в теории рядов. Калининград: изд. «Янтарный сказ», 2004г. 256с.