«Дифференциальные и разностные уравнения»

Факультет Бизнеса

Направление «Экономика»

3-й семестр

«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ»

1. Введение

Понятие функции является одним из основных в математике. При решении многих задач возникает задача приближения функций. Простой прием, который приводит к приближению функций: её заменяют на «сеточную» функцию, и по известным (наблюденным) значениям восстанавливается значения функции при других значениях аргумента. Напомним, что «сеточная» функция – это таблица вида:

		. . .
f()	f()	. . .

Еще один известный прием: функцию приближают функциями определенного вида, например многочленами. Ниже мы займемся, в основном, названными приемами.

2. Задача интерполяции функции

Напомним, под интерполяцией понимаем следующее: по заданным нескольким дискретным точкам внутри промежутка нужно приближенно построить функцию. Под экстраполяцией же понимаем следующее: по заданным нескольким дискретным точкам нужно восстановить функцию вне промежутка.

Здесь мы будем рассматривать интерполяцию как способ приближения функций. Отметим, что интерполяция является важным аппаратом при решений таких задач, как: численное интегрирование, решения дифференциальных уравнений и т. д.

А. Рассмотрим ряд Тейлора:

,

где = и .

Напомним, смысл ряда Тейлора заключается в следующем: находясь в точке , нужно узнать, что произойдет с функцией f в точке x, т. е. какое значение она примет. При решении этого вопроса возникает погрешность: чем дальше мы находимся от точки , тем больше погрешность.

Пример. Пусть . Обозначим . Предположим, что = 0, тогда последовательно мы определим:

= =1+x;

= = 1+ ;

= = 1+ ; и т. д.

Как мы видим, в первом приближении функцию f можно заменить касательной; во втором приближении – параболой и т. д. Чем больше n, тем ближе кривая приближается к кривой f . (рис).

Б. Рассмотрим многочлены Лагранжа.

Пусть функция f задана таблицей:

			. . .
f()	f()	f()	. . .	f()

Нужно построить кривую, проходящую через эти точки. Будем искать многочлен Лагранжа в следующем виде:

, (*)

где и .

Отсюда, используя (*) найдем А. Поскольку

…,

т. е.

= 1, отсюда получаем, что .

Теперь, = . Используя это получим многочлен Лагранжа: .

Упражнение. Рассмотрим функцию , где . Построить , если

			. . .
f()	f()	f()	. . .	f()

где .

3. Численное интегрирование

Данный алгоритм позволяет взять любой интеграл. Для простоты возьмем непрерывную функцию .

1). Первая формула прямоугольников

Рассмотрим интеграл . Как нам известно, данный интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями Разобьем отрезок [a, b] на непересекающиеся промежутки: , ,…, . Тогда первая формула прямоугольников выглядит так:

= ,

где , k = 1,2,…,n-1, , .

Заметим, что чем меньше h, тем больше точность вычислений.

2). Вторая формула прямоугольников

Аналогично 1) разобьем отрезок [a, b]. Тогда вторая формула прямоугольников выглядит так:

= ,

где .

3). Третья формула прямоугольников

Аналогично 1) разобьем отрезок [a, b], и возьмем середины отрезков: при k = 0,1,…,n-1. Тогда третья формула прямоугольников выглядит так:

= ,

4). Формула трапеций

Аналогично 1) разобьем отрезок [a, b]. Тогда формула трапеций выглядит так:

= .

5). Формула Симпсона

Разобьем отрезок [a, b] на непересекающиеся промежутки: , ,…, . Тогда формула Симпсона выглядит так:

= ,

где .

Упражнение. Рассмотрим функцию f(x) = 3sinx на отрезке [0,p].

При h= p/6 вычислите по вышеприведенным формулам.

4. Численное решение задачи Коши

для обыкновенных дифференциальных уравнений

Пусть имеется некоторая функция y = y(x). Рассмотрим дифференциальное уравнение порядка n:

(*) ,

которое решено относительно старшей производной. Рассмотрим начальные условия (условия Коши):

(**)

Тогда задача Коши имеет решение и оно единственное. Решением является функция y = y(x), которая удовлетворяет уравнениям (*) и условиям (**).

Рассмотрим три метода решения задачи Коши.

1). Метод степенных рядов

Решение y = y(x) представляем в виде ряда Маклорена и используя начальные условия получаем:

Остается теперь найти . Поскольку , то подставляя в F начальные условия (**) находим .

Далее, дифференцируя получим:

Подставляя сюда x = 0 и используя начальные условия получаем и прибавляем в ряд еще один член и т. д.

Пример. Пусть (*) и начальные условия : (**).

Представляем решение в виде ряда

+…

Найдем : = 0·1 – 0 = 0, следовательно . Далее, . Отсюда . Тогда . Мы можем найти и = = . Отсюда получаем = 0, следовательно .

2). Метод последовательных приближений

Представим задачу Коши в таком виде:

Проинтегрируем уравнение по x:

= .

Как известно, левая часть равна y(x) - y(0), следовательно

y(x) - y(0) = ,

или y(x) = y(0) + = + .

Тогда

= + , = + , … ,

= + ,

Пример. Рассмотрим систему . Как показано выше

= + = 1 + = 1 – x + ,

= 1 + = 1 + = 1-,

= 1 + = 1 + =

= 1- .

3). Метод Эйлера

Разобьем ось Ox на промежутки длины h: , i = 0,1,… Ординаты точек с абсциссами обозначим через . Далее, заменим в системе производную разностным уравнением (разностным аналогом производной)

Тогда получим: . Вычислим:

,

; и т. д.

Пример. Рассмотрим систему . Пусть h = 0,1, тогда . Как показано выше, вычислим последовательно:

= 1,1 ;

= 1,23 …. и т. д.

5. Краевые задачи

для обыкновенных дифференциальных уравнений

Приведем численные методы решения таких задач.

1). Метод конечных разностей

Рассмотрим функцию и её сеточный аналог – пусть она задана в некоторых узлах: . Напомним, что . Определим - правая (односторонняя) производная в точке ; - левая (односторонняя) производная в точке ; - двусторонняя производная. Подсчитаем сеточной аналог второй производной: , а именно

- правая вторая производная в точке ,

- левая вторая производная в точке ;

- центральная вторая производная в точке .

Рассмотрим уравнение второго порядка (задачу Коши):

где A и B – заданные числа, - постоянные, a и b – границы промежутка. Разобьем промежуток [a,b] на n частей с длиной каждой части . Обозначим точки деления: , где i=0,1,…n и . Далее, обозначим .

Рассмотрим сначала внутренние точки, т. е. . Запишем для них центральные (двусторонние) разности и аналоги для производных и подставляем в уравнение:

и т. д. до i = n-1. Получим систему из (n-1) уравнений c (n+1) неизвестными: .

Теперь рассматриваем граничные точки . В точке запишем в уравнение правую производную:

.

В точке запишем в уравнение левую производную:

.

Теперь, у нас имеется система из (n+1) уравнений c (n+1) неизвестными. Решив эту систему, найдем .

Пример 1. Рассмотрим систему:

.

Разобьем отрезок [0,4] на 4 частей с длиной h = 1. Напомним, здесь . Составим систему:

.

.

Решив эту систему, мы получим решение (проверьте самостоятельно): .

Пример 2. Рассмотрим систему:

.

Разобьем отрезок [0,4] на 4 частей с длиной h = 1. Напомним, здесь. Составим систему:

.

Решив эту систему, мы получим решение (проверьте самостоятельно): .

6. Линейные дифференциальные уравнения

II порядка в частных производных

Рассмотрим следующий оператор:

. (1)

Этот оператор удовлетворяет условию линейности, т. е. .

Рассмотрим определитель: .

Если D > 0, то (1) – является уравнением эллиптического типа; если D = 0, то (1) – уравнение параболического типа; если же D < 0, то (1) – уравнение гиперболического типа.

Рассмотрим уравнение эллиптического типа. Как пример, рассмотрим уравнение Лапласа: . Здесь A=1, B=0, C=1, следовательно получим D = 1·1 - 0 = 1 > 0. Далее, рассмотрим краевую задачу: пусть D - рассматриваемая область и ¶D - граница этой области. Тогда получим так называемую задачу Дирихле:

Решим задачу Дирихле методом сеток. Приведем алгоритм: разобьем область D на прямоугольников. Приблизим границу области квадратной сеткой. Границу «новой» области обозначим через ¶. Теперь рассмотрим интегрируемую функцию u и заменим сеточной функцией: . Предположим, что функция u определена только в точках сетки. Тогда

, .

Подставляем в уравнение Лапласа и получаем:

.

ЛИТЕРАТУРА

1.  . Численные методы. М., 1975. 632 стр.

2.  . Введение в численные методы, Часть 1.