Отражение, поляризация и дифракция фотонов (стр. 4 )

Рис. 14. Схема к анализу формулы для расчета геометрической тени

Нельзя не восхищаться тонкостями наблюдений Френеля и тщательностью измерений экспериментальных результатов, которые он получил. Однако, смущает отсутствие многих схем, как экспериментальных установок, так и - для проверки теоретических результатов. Устраним этот недостаток и покажем схему (рис. 15), из которой получена формула для расчета параметров внутренних каёмок, формируемых проволокой.

Рис. 15. Схема к анализу Френелевой теории дифракции света

Свет движется от точечного источника света и его лучи A’ и B’ (рис. 15) касаются краёв А и В проволоки, где по мнению Френеля формируются вторичные волны, которые распространяются в виде сфер с радиусами и , длина которых отличается на половину длины волны света. Уравнения световых окружностей в системе отсчета он записал так:

, (3)

. (4)

Совместное решение этих уравнений даёт результат

. (5)

Пренебрегая квадратом длины волны ввиду того, что величина эта очень маленькая, он получает

. (6)

Таким образом, уравнение (6), по его мнению, позволяет вычислить координату точки пересечения окружностей (рис. 15). Следующий шаг Френель делает без каких-либо пояснений. Вместо радиуса сферы он ставит в уравнение (6) величину - расстояние от проволоки до экрана (рис. 15).

. (7)

Сразу видно, что делать это нельзя, так как точка пересечения окружностей (3) и (4), точка не лежит в плоскости экрана (рис. 15). В точке радиус окружности отличается от величины больше чем на длину волны . Тем не менее, если мы спроектируем эту точку на экран, то удвоенная её координата будет с большой точностью описывать расстояния между двумя каёмками, симметричными относительно оси . Неправильный математический вывод формулы (7) приводит к правильному расчету экспериментального результата. В чем здесь дело?

Прежде чем искать ответ на этот вопрос, убедимся в том, что формула (7) дает результат, близкий к эксперименту. Чтобы формула (7) давала результат расчета расстояний между тёмными каёмками разных порядков, Френель ввел в неё коэффициент, который принимает значения и формула (7) приняла следующий окончательный вид

. (8)

В табл. 1 приведены экспериментальные данные Френеля и результаты расчета по формуле (8). При этом диаметр проволоки равнялся 1 мм, а длина волны света - [4]

Таблица 1. Результаты опытов Френеля

Величина b, м	Порядок каёмки	Теория (м)	Эксперимент (м)
0, 592	2-й	=0,00092	=0,00096
0,592	3-й	=0,00153	=0,00161
1,996	2-й	=0,00310	=0,00323
3,633	1-й	=0,00188	=0,00188

Как видно (табл. 1), сходимость теоретических результатов с экспериментальными данными достаточно хорошая, несмотря на ошибочность процесса вывода формулы (8). Неправильно выведенная формула, дает правильный результат. Это значит, что существует правильный вывод этой формулы и наша задача найти его. Но прежде чем это делать, надо разобраться со всеми ошибками Френеля.

Прежде всего возникает вопрос: почему волна, идущая из точки А, опережает волну, идущую от точки В, на половину длины волны ? Ответа на этот вопрос у Френеля нет. Далее, обратим внимание на то (рис. 15), что точка пересечения окружностей (точка М) должна иметь отрицательную координату , но в формуле (7) она положительная. Это тоже ошибка. Проверка вывода этой формулы, начиная с исходных уравнений (3) и (4), подтверждает положительную величину координаты , что явно противоречит исходным данным, приведенным на рис. 15. Непросто найти причину этой ошибки. Поэтому мы обращаемся к главному независимому судье – Аксиоме Единства пространства – материи – времени.

Процесс распространения света – функция времени, поэтому решение этой задачи надо начинать с составления уравнений, в которых координаты любой точки световой окружности были бы функциями времени. Для окружности с центром в точке А имеем (рис. 15):

(9)

Для окружности с центром в точке В уравнения будут такими:

(10)

Преобразуем уравнения (9) следующим образом:

(11)

Далее, возведём левые и правые части уравнений (11) в квадрат и сложим их. В результате, после преобразований, будем иметь

. (12)

Аналогичные преобразования проведем и для системы уравнений (1-0). В результате получим

. (13)

Приравнивая правые части уравнений (12) и (13), найдём

. (14)

Теперь, в формуле (14), которая совпадает с формулой (5), появился минус, указывающий на отрицательность координаты точки . Это полностью соответствует положению точки М пересечения окружностей на рис. 15. Пренебрегая слагаемым ввиду его малости, получим формулу (6), заменяя в ней величину на величину , получим формулу (7). Вводя в эту формулу коэффициент Френеля и опуская минус, будем иметь окончательно формулу (8) для расчета расстояний между темными дифракционными каёмками в тени проволоки.

Обратим внимание на то, что в формуле (8) перед координатой стоит цифра 2. Она перенесена из знаменателя формулы (7) в левую часть, что указывает на то, что -это расстояние между двумя каёмками, симметричными относительно оси ОХ. Схема на рис. 15 не даёт нам право на такую интерпретацию, так как окружности (9) и (10) имеют одну точку пересечения в зоне экрана , расположенную ниже оси ОХ и формула (14) подтверждает это.